再生核空间应用──微分方程数值解

【前言】
微分方程定解问题，是研究由微分方程描述某种物理过程或现象，并根据系统的定解条件来确定整个系统的状态变量的变化规律，即研究状态的数学表达式。微分方程定解问题，就其方程而言，有线性和非线性微分方程之分；就其定解条件而言，有初值问题、边值问题和初边值问题；就其问题的未知项而言，有正问题和反问题。
　　本书探讨了用再生核方法数值求解微分方程定解问题，既有正问题，也有反问题。方程以非线性为主，边界选择非局部多点边值、积分边界为处理重点。用再生核方法数值求解微分方程定解问题，构建能够“吸收”初边值条件的再生核空间，将微分方程的定解问题转化为等价的算子方程。在再生核空间里，将微分方程的精确解用再生核空间的再生核解析表示，后，对算子方程使用逼近算法求解。由此可见，构造满足初边值条件的再生核空间、有效地求出再生核空间的再生核成为能否使用再生核方法的关键。
　　近20年来，再生核方法广泛地应用到微分方程定解领域。1986年，崔明根给出了两点边值的再生核的解析表达式，为再生核方法求解微分方程的定解问题奠定了基础。众多学者先后对各类初边值的线性、非线性问题进行了探索，其中边界条件涉及两点边值、线性边界、周期边界。2008年，林迎珍给出了计算非局部积分边界条件的再生核，使得再生核方法延伸到边界为积分条件的微分方程的定解问题。但是，对于非局部多点边界范畴，再生核方法一直难以涉足。其原因是多点边值再生核的计算问题一直困扰着我们，难以解决。
　　本书是作者多年研究成果的总结。本书创建了多点边值再生核空间，提出了求解多点边值再生核的方法，成功地给出了多点边值再生核的解析式，使得用再生核方法求解微分方程多点边值问题成为可能，拓宽了再生核理论的应用范围。在再生核空间框架下数值求解若干微分方程定解问题，包括多点边值问题、反问题和非局部边值条件的非线性抛物方程，在构建多点边值问题的再生核空间、计算多点边值再生核的基础上，用再生核方法求解线性、非线性多点边值问题。在再生核空间里，给出了线性和非线性多点边值问题的解析解。对非线性多点边值问题设计了迭代法求解，其迭代序列是逼近。而对于反问题，本书将再生核方法引入到反问题领域，尝试了用再生核的方法求解依赖空间或时间变量的主系数反问题和源参数反问题。对于主系数反问题，针对边值条件构建了再生核空间，使用空间分解技术，求出解的解析表达式，并且构造了确定主系数的方程组。而对于源参数反问题，通过特殊的变换，使其反问题等价于再生核空间的非线性算子方程。在再生核空间里设计了迭代算法，其迭代序列是投影算子下的逼近，故是逼近。并且，逼近序列的各阶偏导数亦收敛于解的各阶偏导数。本书还广泛地应用再生核方法于各类非局部边值条件的非线性抛物方程（组）中，针对各类非局部边值条件创建相应的再生核空间，融复杂的非局部边界于再生核空间中。在再生核空间中给出解的解析表达式，构造解的逼近序列。本书创建了多点再生核计算，突破了长期以来计算再生核方法的定式，丰富了再生核理论，在非线性多点边值问题、积分边值问题、非线性方程组和系数反问题领域应用了再生核方法，拓宽了再生核理论的应用范围。