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简介
本书涵盖了非线性规划的主要内容，包括无约束优化、凸优化、拉格朗日乘子理论和算法、对偶理论和方法等，并包含了大量的实际应用案例 .本书从无约束优化问题入手，通过直观分析和严谨证明给出了无约束优化问题的最优性条件，并讨论了梯度法、牛顿法、共轭方向法等实用算法 .进而本书将无约束优化问题的最优性条件和算法推广到具有凸集约束的优化问题中，进一步讨论了处理约束问题的可行方向法、条件梯度法、梯度投影法、双矩阵投影法、坐标块下降法等算法 .拉格朗日乘子理论和算法是非线性规划的核心内容之一，也是本书的重点 .本书中的第 3、4章详尽地论述了这方面的内容 .本书首先从等式约束优化问题最优解的必要条件入手，给出了拉格朗日乘子理论最基本的形式，然后给出了等式约束优化问题最优解的充分条件以及不等式约束优化问题的充分条件和必要条件 .拉格朗日乘子算法的引入则基于将约束优化问题转化为无约束优化问题和求解最优性条件对应的方程组两个角度展开，分别讨论了障碍函数法、惩罚函数法、序贯二次规划法、拉格朗日法和原始对偶内点法等方法 .本书的另一个重点是对偶理论和方法 .本书第 5章从几何的角度阐述了拉格朗日对偶理论和 Fenchel对偶理论，并讨论了离散优化及拉格朗日松弛方法；本书最后一章则详细讨论了求解对偶问题的相关概念和方法，包括次梯度、对偶上升方法、次梯度方法、割平面方法和分解方法等 .
本书将深层次的优化理论分析与实用的计算方法密切结合，以解决各种不同类型的优化问题 .与其他阐述优化理论和方法的书籍相比，本书具有如下几个特点 .首先，本书内容完备，自成体系 .本书的附录部分提供了关于矩阵分析、凸分析和线性搜索等内容的数学基础知识，同时阅读本书时也不需要读者提前掌握线性规划、网络优化等其他相关知识内容 .其次，本书层次清晰，由浅入深，易于掌握 .对于理论性很强的定理命题，本书都首先给出直观的解释，或者进行启发式的思维引导，最后再给出严谨的数学证明 .本书整体内容上，按照从无约束优化问题到约束优化问题、从拉格朗日乘子理论到具体算法、从对偶理论到其求解方法的顺序安排，组织结构合理 .最后，本书对很多内容的介绍视角独
特、颇具特色 .比如本书中采用大量图片对抽象问题进行直观说明，采用几何角度对对偶理论进行阐释说明，同时本书多处对线性规划和非线性规划的联系进行了深入的分析和比较.
本书可以作为高年级本科生、研究生运筹优化类课程教材或者相关研究者、工程师的工具参考书 .近十年来，本书译者一直在清华大学自动化系主讲的清华大学研究生精品课程就以本书为主要教材 .在授课过程中，利用从几何直观到定性分析，再到数学推导的讲解方法，能够很好地帮助学生深刻理解复杂定理的内涵实质，同时结合本书提供的众多实际应用案例，可以激发学生学习抽象数学理论的兴趣和能动性 .教学实践表明，本书对研究生的科研与实际工作都发挥了很大的指导作用.
目录
第 1章无约束优化
1.1最优性条件
1.1.1主要的最优性条件
1.2梯度方法的收敛性
1.2.1下降方向和步长准则
1.2.2收敛结果
1.3梯度方法的收敛速率
1.3.1局部分析方法
1.3.2条件数的作用
1.3.3关于收敛速率的结论
1.4牛顿方法及其变形
1.5最小二乘问题
1.5.1高斯-牛顿方法
1.5.2增量梯度法
1.5.3高斯-牛顿法的增量形式
1.6共轭方向法
1.7拟牛顿法
1.8非求导方法
1.8.1坐标下降法
1.8.2直接搜索法
1.9离散时间最优控制问题
1.10一些实用的指导准则
1.11注释和参考资料
第 2章凸集优化
2.1约束优化问题
2.1.1最优解的充要条件
2.1.2最优解的存在性
2.2可行方向法和条件梯度法
2.2.1下降方向和步长规则
2.2.2条件梯度法
2.3梯度投影法
2.3.1基于投影方法的可行方向和步长规则
2.3.2收敛性分析
2.4双矩阵投影方法
2.5流型子优化方法
2.6线性规划的仿射变换
2.7坐标块下降方法
2.8注释和参考资料
第 3章拉格朗日乘子理论
3.1等式约束优化问题的必要条件
3.1.1惩罚法
3.1.2消元法
3.1.3拉格朗日函数
3.2等式约束优化问题的充分条件和灵敏度分析
3.2.1增广的拉格朗日方法
3.2.2可行方向法
3.2.3灵敏度
3.3不等式约束优化问题
3.3.1 Karush-Kuhn-Tucker最优性条件
3.3.2转化为等式约束处理
3.3.3二阶充分条件和灵敏度
3.3.4充分性条件及拉格朗日最小化
3.3.5 Fritz John最优性条件
3.3.6深化和精练
3.4线性约束和对偶性
3.4.1凸目标函数和线性约束
3.4.2对偶理论：针对简单等式约束的优化问题
3.5注释和参考资料
第 4章拉格朗日乘子算法
4.1障碍函数法和内点法
4.1.1线性规划与对数障碍方法
4.2惩罚法和增广的拉格朗日方法
4.2.1二次罚函数方法
4.2.2乘子方法 ——主要思想
4.2.3乘子方法的收敛性分析
4.2.4对偶性和二阶乘子方法
4.2.5指数乘子方法
4.3精确惩罚 ——序贯二次规划
4.3.1不可微精确罚函数
4.3.2可微精确罚函数
4.4拉格朗日方法和原始-对偶内点法
4.4.1一阶方法
4.4.2等式约束问题的类牛顿方法
4.4.3全局收敛性
4.4.4原始-对偶内点法
4.4.5不同方法的比较
4.5注释和参考资料
第 5章对偶性与凸规划
5.1对偶问题
5.1.1几何乘子
5.1.2弱对偶定理
5.1.3原问题和对偶问题最优解的性质
5.1.4原问题不可行或最优值无界的情形
5.1.5对等式约束的处理
5.1.6可分问题及其几何结构
5.1.7有关对偶性的其他问题
5.2凸目标函数 ——线性约束问题
5.3凸目标函数 ——凸约束问题
5.4共轭函数及 Fenchel对偶
5.4.1单值规划的对偶性
5.4.2网络优化
5.4.3博弈和最小化最大值定理
5.4.4原函数
5.4.5从对偶的角度看罚函数方法
5.4.6最近邻和熵最小化算法
5.5离散优化及其对偶
5.5.1离散优化问题的举例
5.5.2分枝定界
5.5.3拉格朗日松弛
5.6注释和参考资料
第 6章对偶方法
6.1对偶微分及次梯度
6.2可微对偶问题的对偶上升方法
6.2.1二次规划的坐标上升法
6.2.2严格凸的可分问题
6.2.3划分和对偶严格凹性
6.3不可微优化方法
6.3.1次梯度方法
6.3.2近似次梯度法和增量次梯度法
6.3.3割平面方法
6.3.4上升法和近似上升法
6.4分解方法
6.4.1耦合约束的拉格朗日松弛
6.4.2基于约束右侧常数分解的方法
6.5注释和参考资料
附录 A数学背景
A.1向量和矩阵
A.2范数、数列、极限和连续性
A.3方阵和特征值
A.4对称和正定矩阵
A.5导数
A.6压缩映射
附录 B凸分析
B.1凸集和凸函数
B.2分离超平面
B.3锥和多面体的凸性
B.4极点
B.5可微性问题
附录 C线性搜索方法
C.1三次插值法
C.2二次插值法
C.3黄金分割法
附录 D牛顿法的运用
D.1 Cholesky分解
D.2改进牛顿法的应用
参考文献
显示全部信息
1.1最优性条件
1.1.1主要的最优性条件
1.2梯度方法的收敛性
1.2.1下降方向和步长准则
1.2.2收敛结果
1.3梯度方法的收敛速率
1.3.1局部分析方法
1.3.2条件数的作用
1.3.3关于收敛速率的结论
1.4牛顿方法及其变形
1.5最小二乘问题
1.5.1高斯-牛顿方法
1.5.2增量梯度法
1.5.3高斯-牛顿法的增量形式
1.6共轭方向法
1.7拟牛顿法
1.8非求导方法
1.8.1坐标下降法
1.8.2直接搜索法
1.9离散时间最优控制问题
1.10一些实用的指导准则
1.11注释和参考资料
第 2章凸集优化
2.1约束优化问题
2.1.1最优解的充要条件
2.1.2最优解的存在性
2.2可行方向法和条件梯度法
2.2.1下降方向和步长规则
2.2.2条件梯度法
2.3梯度投影法
2.3.1基于投影方法的可行方向和步长规则
2.3.2收敛性分析
2.4双矩阵投影方法
2.5流型子优化方法
2.6线性规划的仿射变换
2.7坐标块下降方法
2.8注释和参考资料
第 3章拉格朗日乘子理论
3.1等式约束优化问题的必要条件
3.1.1惩罚法
3.1.2消元法
3.1.3拉格朗日函数
3.2等式约束优化问题的充分条件和灵敏度分析
3.2.1增广的拉格朗日方法
3.2.2可行方向法
3.2.3灵敏度
3.3不等式约束优化问题
3.3.1 Karush-Kuhn-Tucker最优性条件
3.3.2转化为等式约束处理
3.3.3二阶充分条件和灵敏度
3.3.4充分性条件及拉格朗日最小化
3.3.5 Fritz John最优性条件
3.3.6深化和精练
3.4线性约束和对偶性
3.4.1凸目标函数和线性约束
3.4.2对偶理论：针对简单等式约束的优化问题
3.5注释和参考资料
第 4章拉格朗日乘子算法
4.1障碍函数法和内点法
4.1.1线性规划与对数障碍方法
4.2惩罚法和增广的拉格朗日方法
4.2.1二次罚函数方法
4.2.2乘子方法 ——主要思想
4.2.3乘子方法的收敛性分析
4.2.4对偶性和二阶乘子方法
4.2.5指数乘子方法
4.3精确惩罚 ——序贯二次规划
4.3.1不可微精确罚函数
4.3.2可微精确罚函数
4.4拉格朗日方法和原始-对偶内点法
4.4.1一阶方法
4.4.2等式约束问题的类牛顿方法
4.4.3全局收敛性
4.4.4原始-对偶内点法
4.4.5不同方法的比较
4.5注释和参考资料
第 5章对偶性与凸规划
5.1对偶问题
5.1.1几何乘子
5.1.2弱对偶定理
5.1.3原问题和对偶问题最优解的性质
5.1.4原问题不可行或最优值无界的情形
5.1.5对等式约束的处理
5.1.6可分问题及其几何结构
5.1.7有关对偶性的其他问题
5.2凸目标函数 ——线性约束问题
5.3凸目标函数 ——凸约束问题
5.4共轭函数及 Fenchel对偶
5.4.1单值规划的对偶性
5.4.2网络优化
5.4.3博弈和最小化最大值定理
5.4.4原函数
5.4.5从对偶的角度看罚函数方法
5.4.6最近邻和熵最小化算法
5.5离散优化及其对偶
5.5.1离散优化问题的举例
5.5.2分枝定界
5.5.3拉格朗日松弛
5.6注释和参考资料
第 6章对偶方法
6.1对偶微分及次梯度
6.2可微对偶问题的对偶上升方法
6.2.1二次规划的坐标上升法
6.2.2严格凸的可分问题
6.2.3划分和对偶严格凹性
6.3不可微优化方法
6.3.1次梯度方法
6.3.2近似次梯度法和增量次梯度法
6.3.3割平面方法
6.3.4上升法和近似上升法
6.4分解方法
6.4.1耦合约束的拉格朗日松弛
6.4.2基于约束右侧常数分解的方法
6.5注释和参考资料
附录 A数学背景
A.1向量和矩阵
A.2范数、数列、极限和连续性
A.3方阵和特征值
A.4对称和正定矩阵
A.5导数
A.6压缩映射
附录 B凸分析
B.1凸集和凸函数
B.2分离超平面
B.3锥和多面体的凸性
B.4极点
B.5可微性问题
附录 C线性搜索方法
C.1三次插值法
C.2二次插值法
C.3黄金分割法
附录 D牛顿法的运用
D.1 Cholesky分解
D.2改进牛顿法的应用
参考文献
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