A concise course in calculus

前言

第一章 实数及其上的映射

§1 无理数与微积分危机

1．自然数与有理数

2．无理数和微积分的危机

§2 一维连续统--实数

1．数的连续性

2．实数集的界与确界

3．连通实数集合的规范表示

§3 实数集上的映射

1．映射

2．单元函数--实数到实数的映射

3．用四则运算和映射积构造新函数

4．反函数

5．函数的图象

6．基元函数和初等函数

7．隐式方程、参数和极坐标表示的函数

练习题1

第二章 极限

§1 离散变量的极限

.1．以正整数为定义域的函数--序列

2．无穷小量

3．序列的极限

4．无穷大量

5．夹逼收敛

6．单调有界序列的收敛性

7．超越数e

8．n!与euler常数c

9．重要序列极限例举

10．无穷小与无穷大的比较与级

11．子序列与上、下极限

练习题2，1

§2 连续变量的极限

1．实数上的函数极限

* 2．连续变量极限的离散描述

3．函数极限的运算法则和收敛判定准则

4．几类基本的函数极限

练习题2．2

§3 函数的连续与间断

1．函数的连续与间断

2．初等函数的连续性

3．闭区间上的连续函数

练习题2．3

第三章 微分法

§1 变化率及其计算

1．导数

2．初等函数的求导法

3．由参变量或由二元方程表示的隐函数的求导

4．高阶导数

5．微分--函数局部平直化

练习题3．1

§2 微分学基本定理及应用

1．微分学基本定理

2．不定型极限

3．函数的多项式局部拟合--泰勒公式

4．函数的几何形态分析

(a)曲线的极值与升降

(b)曲线的拐点与凹凸

(c)曲线的渐近性态

(d)曲线弯曲度的定量描述--曲率

练习题3．2

第四章 积分法

§1 积分的定义和性质

1．非匀变过程和非规则形体的计算

2．定积分的定义和性质

*§2 函数的可积性

1．可积性基本定理

2．函数的可积性

练习题4．1

§3 牛顿一莱布尼茨公式

§4 原函数的寻求

1．不定积分的基本公式与运算法则

2．换元积分法

3．分部积分法

4．有理函数的积分法

* 5．若干类无理函数的积分法

练习题4．2

§5 定积分的计算与应用

1．定积分的换元与分部积分公式

2．积分微元

3．面积、弧长、体积

4．质心、转动惯量和功

练习题4．3

§6 数值积分

1．矩形公式和梯形公式

2．辛普森(simpson，t．)公式

* 3．龙贝格(romberg，w．)外推公式

*§7 广义积分

1．无穷积分

2．瑕积分

练习题4．4

第五章 动力机制的数学模型--微分方程

§1 物理过程的定量描述

1．质点的弹性振动

2．rlc交变电路

3．冷却与衰变

4．人口增长

5．溶液淡化

6．二体运动(行星绕日运动)

练习题5．1

§2 微分方程的基本概念