工程数学,复变函数

引言

第一章 复数和复变函数及其极限

1-1 复数及其运算

一、复数的概念及其表示法

二、复数的代数运算

三、扩充复平面与复球面

习题一

习题答案

1-2 复平面上曲线和区域

一、复平面上曲线方程的各种表示

二、简单曲线与光滑曲线

三、平面点集与区域

习题二

习题答案

1-3 复变函数与整线性映射

一、复变函数的概念

二、复映射--复变函数的几何意义

三、整线性映射及其保圆性

习题三

习题答案

.1-4 复变函数的极限和连续

一、复变函数的极限

二、复变函数的连续性

习题四

习题答案

第二章 解析函数

2-1 复变函数的导数

一、导数的概念及其求导法则

二、微分的定义及其可微的充要条件

习题一

习题答案

2-2 函数的解析性和指数函数

一、函数解析的概念和充要条件

二、解析函数的运算性质

三、指数函数exp(z)=ez

习题二

习题答案

2-3 初等解析函数

一、对数函数

二、幂函数

三、三角函数和双曲函数

四、反三角函数和反双曲函数

习题三

习题答案

第三章 复积分

3-1 复积分的概念及其性质

一、复变函数积分的概念

二、复积分的存在性及其一般计算公式

三、复积分的简单性质

习题一

习题答案

3-2 积分与其路径的无关性

一、复积分与其积分路径无关的条件

二、解析函数的原函数和在积分计算中的应用

三、复闭路定理和闭路变形原理

习题二

习题答案

3-3 cauchy积分公式和高阶导数公式

一、解析函数的cauchy积分公式

二、解析函数的高阶导数定理

三、解析函数的实部和虚部与调和函数

习题三

习题答案

3-4 平面调和场及其复势

一、平面向量场的旋度和散度与平面调和场

二、平面调和场的复势及其有关等式

三、平面流速场和静电场的复势求法及其应用

习题四

习题答案

第四章 复级数

4-1 复数项级数和幂级数

一、复数列的收敛性及其判别法

二、复数项级数的收敛性及其判别法

三、幂级数及其收敛半径

四、幂级数的运算性质

习题一

习题答案

4-2 taylor级数

一、有关逐项积分的两个引理

二、taylor级数展开定理

三、基本初等函数的taylor级数展开式

四、典型例题及其说明

习题二

习题答案

4-3 laurent级数

一、laurent级数展开定理

二、laurent级数的性质

三、用laurent级数展开式计算积分

习题三

习题答案

第五章 留数及其应用

5-1 函数的孤立奇点及其分类

一、函数孤立奇点的概念和分类

二、函数各类孤立奇点的充要条件

三、用函数的零点判别极点的类型

四、函数在无穷远点的性态

习题一

习题答案

5-2 留数和留数定理

一、留数的定义和计算

二、留数定理

三、函数在无穷远点处的留数

习题二

习题答案

5-3 留数在定积分计算中的应用

一、形如il= 的积分

二、形如i2= 的积分

三、形如i3= 的积分

习题三

习题答案

5-4 辐角原理及其应用

一、对数留数

二、辐角原理

三、rouche'定理

习题四

习题答案

第六章 保角映射

6-1 保角映射的概念

一、曲线的切线方向和两条曲线的夹角

二、解析函数导数的几何意义

三、保角映射的概念和定理

习题一

习题答案

6-2 分式线性映射及其性质

一、在扩充复平面上的保圆性

二、在扩充复平面保持交比的不变性

三、对扩充复平面上圆周的保对称性

四、对有向圆周和直线的保侧性

五、三种特殊的分式线性映射

习题二

习题答案

6-3 几个初等函数所构成的映射

一、对数映射w=lnz和指数映射w=ez

二、幂映射w=zn及其逆映射(n=2，3，…)

三、儒可夫斯基(h．e．ykobckhh)函数

习题三

习题答案

6-4 保角映射几个一般性定理及其应用

一、保角映射的几个一般性定理

二、schwarz-christoffel映射--多角形映射

三、用保角映射解laplace方程边值问题

习题四

习题答案

参考文献和推荐参考书