2014考研数学基础篇常考知识点解析,数学一

前言

A备 等 数 学

第一章极限、连续与一元函数微分学1

一、函数极限与左、右极限的关系1

二、两个重要极限2

三、无穷小的比较4

四、函数连续的定义7

五、函数的间断点9

六、闭区间上连续函数的性质11

七、数列极限存在准则13

八、函数可导与导数的概念16

九、导数的几何意义19

十、复合函数、反函数及隐函数的导数计算21

十一、高阶导数的计算24

十二、函数微分的概念28

十三、罗尔定理及其应用30

十四、拉格朗日中值定理和柯西中值定理及其应用33

十五、泰勒公式及其应用35

十六、洛必达法则39

十七、函数的单调性42

十八、函数极值的计算45

十九、函数最值的计算48

二十、不等式的导数证明50

二十一、方程不同实根个数的判定53

二十二、曲线凹凸性、拐点的计算及曲率、曲率圆的概念55

二十三、曲线渐近线的计算59

练习题一61

练习题一解答65

第二章一元函数积分学70

一、不定积分的换元积分法70

二、不定积分的分部积分法74

三、有理函数不定积分的计算方法77

四、定积分的概念及其计算方法81

五、奇、偶函数和周期函数的定积分性质及一个重要公式84

六、积分上限函数的求导方法88

七、定积分大小的比较与估计方法92

八、积分中值定理及其应用95

九、含定积分的不等式的证明98

十、积分和式极限的计算101

十一、反常积分收敛性的概念及其计算105

十二、平面图形面积的计算110

十三、旋转体体积的计算113

十四、曲线弧长与旋转曲面侧面积的计算116

练习题二120

练习题二解答125

第三章多元函数微积分学130

一、二元函数极限与连续的概念、偏导数及二阶偏导数的计算130

二、二元函数全微分133

三、二元复合函数偏导数及二阶偏导数的计算136

四、二元隐函数偏导数及二阶偏导数的计算139

五、方向导数与梯度143

六、曲面的切平面与法线、空间曲线的切线与法平面方程的计算146

七、多元函数极值的计算150

八、多元函数条件极值的计算153

九、多元连续函数在有界闭区域上最值的计算157

十、二重积分的计算160

十一、二次积分积分次序或坐标系的更换方法165

十二、二重积分大小的比较与估计169

十三、三重积分的计算173

十四、关于弧长曲线积分的计算179

十五、关于坐标曲线积分的计算185

十六、格林公式、曲线积分与路径无关的条件190

十七、关于面积曲面积分的计算195

十八、关于坐标曲面积分的计算199

十九、高斯公式与散度204

二十、斯托克斯公式与旋度209

练习题三213

练习题三解答219

第四章常微分方程与无穷级数229

一、变量可分离微分方程、齐次微分方程的求解229

二、一阶线性微分方程与伯努利方程231

三、全微分方程233

四、可降阶的二阶微分方程236

五、二阶常系数齐次线性微分方程239

六、二阶常系数非齐次线性微分方程242

七、二阶欧拉方程245

八、求解方程y(x)=∫x0g(x,y(t))dt+h(x)的方法247

九、级数收敛性的概念与收敛级数的性质251

十、正项级数的比值判别法与根值判别法253

十一、正项级数的比较判别法256

十二、任意项级数的收敛性判别法259

十三、幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域262

十四、函数展开成幂级数266

十五、求幂级数的和函数271

十六、函数展开成傅里叶级数276

练习题四281

练习题四解答286

附录高等数学的应用295

一、变力做功的计算295

二、转动惯量、质心(形心)的计算298

三、引力、水的侧压力计算303

四、由牛顿第二定律求质点的运动规律308

B毕 性 代 数

第五章行列式、矩阵和向量311

一、n阶行列式的概念311

二、n阶行列式按一行(或一列)展开314

三、矩阵的加法、数乘、乘法、转置运算及分块矩阵317

四、矩阵的初等变换、初等矩阵及矩阵等价321

五、伴随矩阵与矩阵求逆运算324

六、矩阵的秩328

七、向量组的线性相关性331

八、向量组的极大线性无关组与秩334

九、向量组的标准正交化与正交矩阵337

十、n维向量空间340

练习题五344

练习题五解答349

第六章线性方程组、矩阵特征值与特征向量及二次型356

一、n元齐次线性方程组及其解法356

二、n元非齐次线性方程组及其解法359

三、矩阵方程求解363

四、两个线性方程组的同解与公共解366

五、矩阵的特征值与特征向量371

六、矩阵相似374

七、矩阵的相似对角化378

八、实对称矩阵正交相似对角化383

九、二次型化标准形388

十、二次型化规范形395

十一、正定二次型与正定矩阵398

练习题六400

练习题六解答407

C备怕事塾胧理统计

第七章概率论415

一、随机事件及其概率的概念415

二、条件概率与乘法公式，全概率公式与贝叶斯公式418

三、随机事件的独立性422

四、(一维)离散型随机变量及其分布律424

五、(一维)连续型随机变量及其概率密度426

六、(一维)随机变量的分布函数429

七、标准正态分布及其性质433

八、(一元)随机变量函数的分布435

九、二维离散型随机变量及其分布律438

十、二维连续型随机变量及其概率密度444

十一、二维随机变量的分布函数448

十二、二维连续型随机变量的两类条件概率的计算452

十三、两个随机变量的独立性455

十四、二元随机变量函数的分布459

十五、二维正态分布的性质464

十六、随机变量的数学期望467

十七、随机变量的方差与矩471

十八、随机变量的协方差与相关系数474

十九、切比雪夫不等式478

二十、大数定律与中心极限定理479

练习题七483

练习题七解答489

第八章数理统计499

一、总体与样本，数理统计中的常用分布499

二、正态总体样本的常用统计量及其分布504

三、参数的点估计方法507

四、估计量的无偏性、有效性和一致性511

五、参数的区间估计514

六、参数的假设检验517

练习题八520

练习题八解答524

参考文献529