简介
《研究生数学系列规划教材:拓扑学》是一本拓扑学的基础教材，全书分成三十二讲，内容包括三个部分：点集拓扑学部分、代数拓扑学部分和拓扑群部分，重点放在前两部分。前十三讲属于点集拓扑学部分，主要讲点集拓扑学的基本概念，连续映射与同胚，拓扑空间的几种常见运算（如积空间、商空间等）以及主要的拓扑性质（如分离性、可数性、紧性、连通性等），并简要地介绍了曲面分类、函数空间和网与滤子的基本知识；第十四至二十九讲属于代数拓扑学部分，主要讲基本群、复叠空间、单纯同调群及相关的基本知识及其经典的应用；最后三讲属于拓扑群部分，主要介绍一些基本概念。《研究生数学系列规划教材:拓扑学》内容丰富（有意识地编入了许多资料性的内容），结构严谨，叙述深入浅出，定理证明详尽明白。为便于理解，还配备了相当数量的图形、大量的例题和书后习题。《研究生数学系列规划教材:拓扑学》可作为综合性大学数学系和师范院校高年级本科生的教学用书，也可以作为非拓扑学专业的数学系研究生学位课的教材，对于其他数学工作者而言，也是一本好用的拓扑学参考资料。
目录
符号说明
编者序言
引言
第一部分 点集拓扑学
第一讲 预备知识 10
1.1 集合代数与关系 10
1.2 函数与等价关系 12
1.3 序关系与选择公理 14
1.4 集合的可数性 18
1.5 基数简介 20
习题1 22
第二讲 拓扑空间的基本概念 25
2.1 拓扑空间的定义 25
2.2 度量拓扑 27
2.3 拓扑空间的几个基本概念 28
2.4 子空间 33
习题2 34
第三讲 拓扑空间之间的连续映射与同胚 37
3.1 连续映射的定义 37
3.2 连续映射的性质 39
3.3 同胚映射 42
3.4 嵌入与嵌入映射 44
习题3 44
第四讲 拓扑基与Tychonoff积空间 47
4.1 拓扑基与子基 47
4.2 乘积空间 51
习题4 57
第五讲 分离性公理与可数性公理 61
5.1 分离性公理 61
5.2 可数性公理 69
5.3 拓扑性质的可遗传性与可乘性 72
习题5 73
第六讲 Uryshon引理及其应用 76
6.1 Uryshon引理 76
6.2 Tietze扩张引理 79
6.3 Uryshon度量化定理 82
习题6 84
第七讲 拓扑空间的紧致性与列紧性 87
7.1 紧致与列紧的定义 88
7.2 列紧空间的性质 89
7.3 紧致空间的性质 91
习题7 96
第八讲 局部紧性与仿紧性 99
8.1 局部紧性 99
8.2 仿紧性 103
习题8 110
第九讲 连通性与道路连通性 112
9.1 连通性的定义及例子 112
9.2 连通空间的性质 113
9.3 连通分支 116
9.4 局部连通性 117
9.5 道路及其运算 118
9.6 道路连通空间 119
9.7 道路连通分支 121
9.8 局部道路连通 122
习题9 125
第十讲 商空间与商映射 127
10.1 商空间 127
10.2 拓扑锥 130
10.3 贴空间 130
10.4 映射柱与映射锥 132
10.5 商映射 133
10.6 几个例子 137
习题10 138
第十一讲 闭曲面及其分类 141
11.1 拓扑流形的概念 141
11.2 闭曲面 141
11.3 两类闭曲面 142
11.4 闭曲面分类定理 144
习题11 149
第十二讲 点网、滤子与收敛性概念的扩张 151
12.1 点网 151
12.2 滤子 157
习题12 160
第十三讲 函数空间 162
13.1 点态收敛拓扑 162
13.2 X上的一致收敛拓扑 163
13.3 紧开拓扑 166
13.4 k -空间与Ascoli定理 169
习题13 172
第二部分 代数拓扑学
第十四讲 映射的同伦与基本群的定义 176
14.1 映射的同伦 176
14.2 道路类的逆与乘积 181
14.3 道路类的运算性质 183
14.4 空间的基本群定义 185
14.5 连续映射诱导的基本群同态 185
14.6 基本群与基点的关系 186
习题14 187
第十五讲 球面Sn的基本群 190
15.1 S1的基本群 190
15.2 n≥2时Sn是单连通的 194
15.3 T2的基本群 195
习题15 196
第十六讲 基本群的同伦不变性 198
16.1 同伦的映射所诱导的基本群的同态之间的关系 198
16.2 拓扑空间的同伦等价 200
16.3 形变收缩核 201
16.4 可缩空间 208
习题16 209
第十七讲 基本群的计算 212
17.1 Seifert-Van Kampen定理 212
17.2 Seifert-Van Kampen定理应用举例 216
17.3 轨道空间与基本群 220
习题17 222
第十八讲 基本群的若干应用 224
18.1 闭曲面分类定理证明的完成 224
18.2 Brouwer不动点定理2维情形的证明 226
18.3 代数基本定理的证明 227
18.4 曲面的边界问题 227
18.5 扭结群的Wirtinger表示 228
18.6 平面的分离问题 233
习题18 235
第十九讲 复叠空间及其基本性质 236
19.1 复叠映射与复叠空间 236
19.2 映射的提升问题 240
19.3 复叠空间的基本群 244
19.4 复叠空间的分类 249
习题19 250
第二十讲 复叠变换与正则复叠空间 253
20.1 复叠变换 253
20.2 正则复叠空间 255
20.3 泛复叠空间 258
20.4 四元数简介 261
习题20 262
第二十一讲 单纯复形的同调群 263
21.1 单纯形 263
21.2 单纯复（合）形 265
21.3 多面体与可剖分空间 267
21.4 承载单形 269
21.5 单形的定向 270
21.6 链群 270
21.7 边缘同态 271
21.8 同调群 274
习题21 277
第二十二讲 同调群的简单性质、G系数同调群 280
22.1 同调群的简单性质 280
22.2 0-维同调群 281
22.3 1-维同调群与基本群的关系 282
22.4 Euler-Poincare公式 284
22.5 以交换群 G为系数群的同调群 285
习题22 286
第二十三讲 同调群的基本计算 288
习题23 296
第二十四讲 单纯映射与单纯逼近 298
24.1 单纯映射 298
24.2 单纯映射诱导的同调群的同态 300
24.3 单纯逼近 303
24.4 重心重分 306
24.5 单纯逼近存在定理 308
习题24 310
第二十五讲 连续映射诱导的同调群同态 313
25.1 链复形、链映射和链同伦 313
25.2 同调群的重分不变性 317
25.3 诱导同调fq的定义 320
25.4 多面体与可剖分空间的同调群 321
习题25 324
第二十六讲 同调群的同伦不变性 326
26.1 同调群的同伦不变性 326
26.2 同调群计算再举例 327
习题26 333
第二十七讲 Mayer-Vietoris同调序列 334
27.1 简约同调群 334
27.2 相对同调群 335
27.3 同调代数的基本知识，正合同调序列 337
27.4 Mayer-Vietoris同调序列 342
习题27 347
第二十八讲 球面自映射的映射度及其应用 349
28.1 球面自映射的映射度的定义和性质 349
28.2 对径映射的映射度及其应用 352
28.3 保径映射的映射度 356
28.4 Borsuk-Ulam定理 359
习题28 361
第二十九讲 Lefschetz不动点定理 363
29.1 代数准备 363
29.2 有限复形K的迹数 365
29.3 可剖分空间的Lefschetz数 367
习题29 370
第三部分 拓扑群基础
第三十讲 拓扑群的基本概念与基本性质 372
30.1 拓扑群的概念 372
30.2 拓扑群的性质 374
习题30 380
第三十一讲 拓扑群的子群、商群与拓扑变换群 382
31.1 拓扑群的子群 382
31.2 拓扑群的商群 385
31.3 拓扑变换群 390
习题31 394
第三十二讲 拓扑群的可乘性、分离性、连通性与逆极限 396
32.1 拓扑群的积 396
32.2 拓扑群的分离性 397
32.3 拓扑群的连通性 401
32.4 逆极限 404
习题32 407
索引 409
参考文献 418
编者序言
引言
第一部分 点集拓扑学
第一讲 预备知识 10
1.1 集合代数与关系 10
1.2 函数与等价关系 12
1.3 序关系与选择公理 14
1.4 集合的可数性 18
1.5 基数简介 20
习题1 22
第二讲 拓扑空间的基本概念 25
2.1 拓扑空间的定义 25
2.2 度量拓扑 27
2.3 拓扑空间的几个基本概念 28
2.4 子空间 33
习题2 34
第三讲 拓扑空间之间的连续映射与同胚 37
3.1 连续映射的定义 37
3.2 连续映射的性质 39
3.3 同胚映射 42
3.4 嵌入与嵌入映射 44
习题3 44
第四讲 拓扑基与Tychonoff积空间 47
4.1 拓扑基与子基 47
4.2 乘积空间 51
习题4 57
第五讲 分离性公理与可数性公理 61
5.1 分离性公理 61
5.2 可数性公理 69
5.3 拓扑性质的可遗传性与可乘性 72
习题5 73
第六讲 Uryshon引理及其应用 76
6.1 Uryshon引理 76
6.2 Tietze扩张引理 79
6.3 Uryshon度量化定理 82
习题6 84
第七讲 拓扑空间的紧致性与列紧性 87
7.1 紧致与列紧的定义 88
7.2 列紧空间的性质 89
7.3 紧致空间的性质 91
习题7 96
第八讲 局部紧性与仿紧性 99
8.1 局部紧性 99
8.2 仿紧性 103
习题8 110
第九讲 连通性与道路连通性 112
9.1 连通性的定义及例子 112
9.2 连通空间的性质 113
9.3 连通分支 116
9.4 局部连通性 117
9.5 道路及其运算 118
9.6 道路连通空间 119
9.7 道路连通分支 121
9.8 局部道路连通 122
习题9 125
第十讲 商空间与商映射 127
10.1 商空间 127
10.2 拓扑锥 130
10.3 贴空间 130
10.4 映射柱与映射锥 132
10.5 商映射 133
10.6 几个例子 137
习题10 138
第十一讲 闭曲面及其分类 141
11.1 拓扑流形的概念 141
11.2 闭曲面 141
11.3 两类闭曲面 142
11.4 闭曲面分类定理 144
习题11 149
第十二讲 点网、滤子与收敛性概念的扩张 151
12.1 点网 151
12.2 滤子 157
习题12 160
第十三讲 函数空间 162
13.1 点态收敛拓扑 162
13.2 X上的一致收敛拓扑 163
13.3 紧开拓扑 166
13.4 k -空间与Ascoli定理 169
习题13 172
第二部分 代数拓扑学
第十四讲 映射的同伦与基本群的定义 176
14.1 映射的同伦 176
14.2 道路类的逆与乘积 181
14.3 道路类的运算性质 183
14.4 空间的基本群定义 185
14.5 连续映射诱导的基本群同态 185
14.6 基本群与基点的关系 186
习题14 187
第十五讲 球面Sn的基本群 190
15.1 S1的基本群 190
15.2 n≥2时Sn是单连通的 194
15.3 T2的基本群 195
习题15 196
第十六讲 基本群的同伦不变性 198
16.1 同伦的映射所诱导的基本群的同态之间的关系 198
16.2 拓扑空间的同伦等价 200
16.3 形变收缩核 201
16.4 可缩空间 208
习题16 209
第十七讲 基本群的计算 212
17.1 Seifert-Van Kampen定理 212
17.2 Seifert-Van Kampen定理应用举例 216
17.3 轨道空间与基本群 220
习题17 222
第十八讲 基本群的若干应用 224
18.1 闭曲面分类定理证明的完成 224
18.2 Brouwer不动点定理2维情形的证明 226
18.3 代数基本定理的证明 227
18.4 曲面的边界问题 227
18.5 扭结群的Wirtinger表示 228
18.6 平面的分离问题 233
习题18 235
第十九讲 复叠空间及其基本性质 236
19.1 复叠映射与复叠空间 236
19.2 映射的提升问题 240
19.3 复叠空间的基本群 244
19.4 复叠空间的分类 249
习题19 250
第二十讲 复叠变换与正则复叠空间 253
20.1 复叠变换 253
20.2 正则复叠空间 255
20.3 泛复叠空间 258
20.4 四元数简介 261
习题20 262
第二十一讲 单纯复形的同调群 263
21.1 单纯形 263
21.2 单纯复（合）形 265
21.3 多面体与可剖分空间 267
21.4 承载单形 269
21.5 单形的定向 270
21.6 链群 270
21.7 边缘同态 271
21.8 同调群 274
习题21 277
第二十二讲 同调群的简单性质、G系数同调群 280
22.1 同调群的简单性质 280
22.2 0-维同调群 281
22.3 1-维同调群与基本群的关系 282
22.4 Euler-Poincare公式 284
22.5 以交换群 G为系数群的同调群 285
习题22 286
第二十三讲 同调群的基本计算 288
习题23 296
第二十四讲 单纯映射与单纯逼近 298
24.1 单纯映射 298
24.2 单纯映射诱导的同调群的同态 300
24.3 单纯逼近 303
24.4 重心重分 306
24.5 单纯逼近存在定理 308
习题24 310
第二十五讲 连续映射诱导的同调群同态 313
25.1 链复形、链映射和链同伦 313
25.2 同调群的重分不变性 317
25.3 诱导同调fq的定义 320
25.4 多面体与可剖分空间的同调群 321
习题25 324
第二十六讲 同调群的同伦不变性 326
26.1 同调群的同伦不变性 326
26.2 同调群计算再举例 327
习题26 333
第二十七讲 Mayer-Vietoris同调序列 334
27.1 简约同调群 334
27.2 相对同调群 335
27.3 同调代数的基本知识，正合同调序列 337
27.4 Mayer-Vietoris同调序列 342
习题27 347
第二十八讲 球面自映射的映射度及其应用 349
28.1 球面自映射的映射度的定义和性质 349
28.2 对径映射的映射度及其应用 352
28.3 保径映射的映射度 356
28.4 Borsuk-Ulam定理 359
习题28 361
第二十九讲 Lefschetz不动点定理 363
29.1 代数准备 363
29.2 有限复形K的迹数 365
29.3 可剖分空间的Lefschetz数 367
习题29 370
第三部分 拓扑群基础
第三十讲 拓扑群的基本概念与基本性质 372
30.1 拓扑群的概念 372
30.2 拓扑群的性质 374
习题30 380
第三十一讲 拓扑群的子群、商群与拓扑变换群 382
31.1 拓扑群的子群 382
31.2 拓扑群的商群 385
31.3 拓扑变换群 390
习题31 394
第三十二讲 拓扑群的可乘性、分离性、连通性与逆极限 396
32.1 拓扑群的积 396
32.2 拓扑群的分离性 397
32.3 拓扑群的连通性 401
32.4 逆极限 404
习题32 407
索引 409
参考文献 418
Topology
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- 类型
- 大小
光盘服务联系方式: 020-38250260 客服QQ：4006604884
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