线性代数及应用

*章　行列式　1

*节　行列式概念的引进　1

一、二阶行列式　1

二、三阶行列式　2

习题1－1　5

第二节　排列　5

一、加法原理和乘法原理　6

二、排列及其逆序数　6

习题1－2　8

第三节　n阶行列式　8

一、n阶行列式定义　9

二、几类特殊的行列式　10

习题1－3　11

第四节　行列式的性质　12

习题1－4　19

第五节　行列式按行（列）展开　20

一、行列式按某一行（列）展开　20

二、范德蒙行列式　24

习题1－5　27

第六节　克莱姆法则　28

习题1－6　31

第七节　应用实例　32

一、在求解直线和曲线方程中的应用　32

二、在数据拟合中的应用　34

三、在多项式因式分解中的应用　36

习题1－7　37

本章内容小结　38

一、本章知识点网络图　38

二、本章题型总结与分析　38

总习题一（A）　42

总习题一（B）　44

第二章　矩阵　48

*节　矩阵的概念及运算　48

一、矩阵的定义　48

二、几种特殊矩阵　49

三、矩阵的线性运算　51

四、矩阵的乘法　52

五、矩阵的转置　53

六、方阵的行列式　54

习题2－1　54

第二节　逆矩阵　55

习题2－2　57

第三节　分块矩阵　58

一、矩阵的分块　58

二、分块矩阵的运算　58

习题2－3　60

第四节　矩阵的初等变换和初等矩阵　61

一、矩阵的初等变换　61

二、初等矩阵及其性质　63

三、初等变换求矩阵的逆　64

四、初等变换解矩阵方程　65

习题2－4　66

第五节　矩阵的秩　67

一、矩阵秩的定义　67

二、矩阵秩的求法　68

习题2－5　69

第六节　应用实例　69

一、编制运输计划　69

二、矩阵在网络图中应用　70

习题2－6　70

本章内容小结　71

一、本章知识点网络图　71

二、本章题型总结与分析　72

总习题二（A）　73

总习题二（B）　74

第三章　线性方程组　77

*节　n维向量及线性组合　77

一、n维向量的概念及其运算　77

二、向量组及其线性组合　79

习题3－1　81

第二节　向量组的线性相关性　81

一、向量组的线性相关与线性无关　81

二、向量组线性相关性的判定　82

习题3－2　85

第三节　向量组的秩　86

一、向量组的等价　86

二、极大线性无关组　87

三、矩阵秩与向量组秩的关系　89

习题3－3　91

第四节　线性方程组的可解性及解的结构　91

一、线性方程组有解的判定定理　93

二、齐次线性方程组解的结构　99

三、非齐次线性方程组解的结构　104

习题　3－4　106

第五节　应用实例　107

一、任务分派问题　107

二、经济系统的平衡问题　108

习题3－5　109

本章内容小结　110

一、本章知识点网络图　110

二、　本章题型总结与分析　111

总习题三（A）　114

总习题三（B）　117

第四章　相似矩阵与二次型　119

*节　正交矩阵　119

一、向量内积　119

二、n维向量的长度与夹角　120

三、向量组的正交性　120

四、正交矩阵　122

习题4－1　122

第二节　方阵的特征值与特征向量　123

一、特征值与特征向量的概念及其求法　123

二、特征值与特征向量的性质　125

习题4－2　125

第三节　相似矩阵　126

一、相似矩阵的概念及性质　126

二、矩阵与对角矩阵相似的条件　127

三、实对称矩阵对角化　128

习题4－3　130

第四节　二次型　131

一、二次型及其矩阵表示　131

二、化二次型为标准形　133

习题4－4　136

第五节　正定二次型和正定矩阵　136

习题4－5　139

第六节　应用实例　139

习题4－6　140

本章内容小结　141

一、本章知识点网络图　141

二、本章题型总结与分析　141

总习题四（A）　145

总习题四（B）　146

第五章　线性空间与线性变换　148

*节　线性空间　148

一、线性空间的概念　148

二、线性空间的性质　150

三、线性空间的子空间　150

习题5－1　150

第二节　线性空间的基、维数与坐标　151

习题5－2　153

第三节　基变换与坐标变换　154

一、基变换与过渡矩阵　154

二、坐标变换公式　155

习题5－3　157

第四节　线性变换　157

一、线性变换的概念与性质　158

二、线性变换的性质　159

三、线性变换的矩阵表示　159

习题5－4　163

第五节　应用实例　164

一、密码问题　164

二、平面图形变换　165

习题5－5　166

本章内容小结　166

一、本章知识点网络图　166

二、本章题型总结与分析　167

总习题五（A）　171

总习题五（B）　172

第六章　MATLAB在线性代数中的应用　174

*节　MATLAB基本操作　174

一、MATLAB简介　174

二、MATLAB主窗口　175

三、矩阵创建　176

习题6－1　176

第二节　矩阵算术运算　177

一、数乘运算　177

二、加运算　177

三、减运算　178

四、乘运算　178

五、幂运算　178

六、转置运算　178

七、点运算　179

习题6－2　179

第三节　MATLAB矩阵函数　179

一、求方阵行列式值函数det（）　180

二、求方阵逆矩阵函数inv（）　180

三、求方阵特征值与特征向量函数eig（）　180

四、求上三角矩阵函数triu（）　181

五、求下三角矩阵函数tril（）　181

六、求方阵秩函数rank（）　181

七、求方阵迹函数trace（）　181

八、求共轭矩阵函数conj（）　182

九、求方阵特征多项式函数poly（）　182

十、求矩阵元素个数函数numel（）　182

十一、求矩阵维数函数size（）　182

十二、生成单位方阵函数eye（）　183

十三、生成零方阵函数zeros（）　183

十四、生成元素全为1的方阵函数ones（）　183

十五、矩阵旋转函数rot90（）　183

十六、生成范德蒙矩阵函数vander（）　184

十七、解方程（组）函数solve（）　184

十八、将二次型化为标准形函数schur（）　185

习题6－3　186

第四节　应用实例　186

一、食品配方问题　187

二、交通流量问题　187

三、插值多项式系数问题　188

四、平板稳态温度问题　189

五、服装加工问题　190

六、成本核算问题　191

习题6－4　192

本章内容小结　193

一、本章知识点网络图　193

二、本章题型总结与分析　194

总习题六（A）　194

总习题六（B）　195

参考答案　198

参考文献　220