What is Mathematics

目录
什么是数学
第1章 自然数
引言
1 整数的计算
1 算术的规律
2 整数的表示
3 非十进位制中的计算
2 数系的无限性 数学归纳法
1 数学归纳法原理
2 等差级数
3 等比级数
4 前n项平方和
5 一个重要的不等式
6 二项式定理
7 再谈数学归纳法
第1章补充 数论
引言
1 素数
1 基本事实
2 素数的分布
2 同余
1 一般概念
2 费马定理
3 二次剩余
3 毕达哥拉斯数和费马大定理
4 欧几里得辗转相除法
1 一般理论
2 在算术基本定理上的应用
3 欧拉函数ψ 再谈费马定理
4 连分数 丢番都方程
第2章 数学中的数系
引言
1 有理数
1 作为度量工具的有理数
2 数学内部对有理数的需要 推广的原则
3 有理数的几何解释
2 不可公度线段 无理数和极限概念
1 引言
2 十进位小数 无限小数
3 极限 无穷等比级数
4 有理数和循环小数
5 用区间套给出无理数的一般定义
6 定义无理数的另一个方法 戴特金分割
3 解析几何概述
1 基本原理
2 直线方程和曲线方程
4 无限的数学分析
1 基本概念
2 有理数的可数性和连续统的不可数性
3 康托的“基数”
4 反证法
5 有关无限的悖论
6 数学的基础
5 复数
1 复数的起源
2 复数的几何解释
3 棣莫弗公式和单位根
4 代数基本定理
6 代数数和超越数
1 定义和存在性
2 柳维尔定理和超越数的构造
第2章补充 集合代数
1 一般理论
2 在数理逻辑中的应用
3 在概率论中的一个应用
第3章 几何作图 数域的代数
引言
第1部分 不可能性的证明和代数
1 基本几何作图
1 域的构作和开平方根
2 正多边形
3 阿波罗尼斯问题
2 可作图的数和数域
1 一般理论
2 可作图的数都是代数数
3 三个不可解的希腊问题
1 倍立方体问题
2 关于三次方程的一个定理
3 三等分任意角
4 正七边形
5 关于化圆为方的问题
第2部分 作图的各种方法
4 几何变换 反演
1 一般说明
2 反演的性质
3 反演点的几何作图
4 只用圆规如何二等分一线段及求圆心
5 用其他工具作图 只用圆规的马歇罗尼作图
1 倍立方体的古典作图
2 只限于用圆规
3 用机械工具作图 机械曲线 旋轮线
4 连杆 波西里叶和哈特的反演器
6 再谈反演及其应用
1 角的不变性 圆族
2 在阿波罗尼斯问题上的应用
3 重复反射
第4章 射影几何 公理体系 非欧几里得几何
1 引言
1 几何性质的分类 变换下的不变性
2 射影变换
2 基本概念
1 射影变换群
2 笛沙格定理
3 交比
1 定义和不变性的证明
2 在完全四边形上的应用
4 平行性和无穷远
1 作为“理想点”的无穷远点
2 理想元素和射影
3 含有无穷远元素的交比
5 应用
1 初步说明
2 平面上笛沙格定理的证明
3 巴斯嘉定理
4 布利安桑定理
5 对偶性简介
6 解析表示
1 初步说明
2 齐次坐标 对偶性的代数基础
7 只用直尺的作图问题
8 二次曲线和二次曲面
1 二次曲线的初等度量几何
2 二次曲线的射影性质
3 二次曲线看作线曲线
4 关于二次曲线的巴斯嘉和布利安桑的一般定理
5 双曲面
9 公理体系和非欧几何
1 公理方法
2 双曲非欧几里得几何
3 几何与现实
4 庞加莱的模型
5 椭圆几何或黎曼几何
附录 高维空间中的几何学
1 引言
2 解析的方法
3 几何的方法或组合的方法
第5章 拓扑学
引言
1 多面体的欧拉公式
2 图形的拓扑性质
1 拓扑性质
2 连通性
3 拓扑定理的其他例子
1 若当曲线定理
2 四色问题
3 维的概念
4 不动点定理
5 纽结
4 曲面的拓扑分类
1 曲面的亏格
2 曲面的欧拉示性数
3 单侧曲面
附录
1 五色定理
2 多边形的若当曲线定理
3 代数基本定理
第6章 函数和极限
引言
1 变量和函数
1 定义和例子
2 角的弧度制
3 函数的图像 反函数
4 复合函数
5 连续性
6 多元函数
7 函数和变换
2 极限
1 序列a〓的极限
2 单调序列
3 欧拉数e
4 数π
5 连分数
3 连续趋近的极限
1 引言 一般定义
2 极限概念的评述
3 (sin x)/x的极限
4 当x→∞时的极限
4 连续性的精确定义
5 有关连续函数的两个基本定理
1 布尔查诺定理
2 布尔查诺定理的证明
3 维尔斯特拉斯极值定理
4 有关序列的一个定理 紧致集
6 布尔查诺定理的一些应用
1 几何上的应用
2 力学问题上的一个应用
第6章补充 极限和连续的一些例题
1 极限的例题
1 一般说明
2 q〓的极限
3 〓的极限
4 不连续函数当作连续函数的极限
5 极限的叠代求法
2 连续性的例题
第7章 极大与极小
引言
1 初等几何中的问题
1 两边给定求面积极大的三角形
2 赫伦定理光线的极值性质
3 三角形问题上的应用
4 椭圆和双曲线的切线性质 相应的极值性质
5 到给定曲线的距离的极值
2 基本极值问题的一般原则
1 原则
2 例题
3 驻点与微分学
1 极值和驻点
2 多元函数的极大和极小 鞍点
3 极小极大点和拓扑学
4 点到曲面的距离
4 施瓦茨的三角形问题
1 施瓦茨的证明
2 另一种证法
3 钝角三角形
4 由光线形成的三角形
5 有关反射和遍历运动的说明
5 施泰纳问题
1 问题及解答
2 两种不同情况的分析
3 一个补充问题
4 说明与习题
5 推广到道路网问题
6 极值与不等式
1 两个正量的算术平均和几何平均
2 推广到n个变量
3 最小二乘法
7 极值的存在性 狄里赫莱原理
1 一般说明
2 例题
3 初等极值问题
4 比较复杂情形中所存在的困难
8 等周问题
9 带有边界条件的极值问题 施泰纳问题和等周问题之间的联系
10 变分法
1 引言
2 变分法 费马光学原理
3 贝努利对捷线问题的处理
4 球面上的测地线与极大-极小
11 极小问题的实验解法 肥皂膜实验
1 引言
2 肥皂膜实验
3 普拉图问题的几种新实验
4 其他数学问题的实验解法
第8章 微积分
引言
1 积分
1 面积看作是一个极限
2 积分
3 积分概念的一般说明 一般定义
4 积分举例x〓的积分
5 “积分运算”的法则
2 导数
1 把导数看作是斜率
2 导数看作是一极限
3 例题
4 三角函数的导数
5 可微性和连续性
6 导数和速度 二阶导数和加速度
7 二阶导数的几何意义
8 极大与极小
3 微分法
4 莱布尼茨的记号和“无穷小”
5 微积分基本定理
1 基本定理
2 初步应用x〓，cos x，sin x，arctan x的积分
3 表示π的莱布尼茨公式
6 指数函数与对数函数
1 对数的定义和性质 欧拉数e
2 指数函数
3 e〓，a〓，x〓的微分公式
4 用极限表示e，e〓和ln x的表达式
5 对数的无穷级数展开式 数值计算
7 微分方程
1 定义
2 指数函数的微分方程 放射性元素的蜕变 增长率 复利
3 其他例题 简谐振动
4 牛顿动力学定律
第8章补充
1 原理方面的内容
1 可微性
2 积分
3 积分概念的另一些应用 功 弧长
2 数量级
1 指数函数和x的幂
2 ln(n!)的数量级
3 无穷级数和无穷乘积
1 函数的无穷级数
2 欧拉公式 cos x+i sin x=e〓
3 调和级数和Zeta函数 正弦的欧拉乘积
4 用统计方法得到素数定理
第9章 最新进展
1 产生素数的公式
2 哥德巴赫猜想和孪生素数
3 费马大定理
4 连续统假设
5 集合论中的符号
6 四色定理
7 豪斯道夫维数和分形
8 纽结
9 力学中的一个问题
10 施泰纳问题
11 肥皂膜和最小曲面
12 非标准分析
附录 补充说明 问题和习题
算术和代数
解析几何
几何作图
射影几何和非欧几何
拓扑学
函数、极限和连续性
极大与极小
微积分
积分法
参考书目1
参考书目2(推荐阅读)
Q
x