高等数学辅导.下册

第8章 多元函数及其微分法

8．1 函数、极限、连续、偏导数

8．1．1 内容提要

1 函数的定义

2 二元函数的极限定义

3 二元函数的连续定义

4 元连续函数的性质

5 偏导数的定义(以二元函数为例)

6 高阶偏导数

8．1．2 例题分析

1 函数概念中的一些问题、函数的符号运算

2 函数的定义域

3 有关二元函数极限中的一些问题

4 有关偏导数中的一些问题

5 求偏导数

8．2 全微分及其在近似计算中的应用，

8．2．1 内容提要

1 全增量的定义

2 全微分的定义

3 可微的定义、近似计算公式

.4 方向导数的定义

5 方向导数的计算公式

8．2．2 例题分析

1 偏导数与全微分的关系

2 求全微分

3 全微分在近似计算中的应用

4 方向导数

8．3 多元函数的微分法

8．3．1 内容提要

1 复合函数的微分法

2 隐函数的微分法

8．3．2 例题分析

1 由具体函数所构成的复合函数的微分法

2 由抽象函数所构成的复合函数的微分法

3 既有具体函数又有抽象函数所构成的复合函数的微分法

4 抽象函数的二阶偏导数

5 隐函数的微分法

8．4 曲面的切平面、空间曲线的切线

8．4．1 内容提要

1 曲面的切平面

2 空间曲线的切线

8．4．2 例题分析

1 空间曲线的切线与法平面方程

2 曲面的切平面与法线

8．5 极值

8．5．1 内容提要

1 极值定义

2 函数／极值点的必要条件

3 极值点的充分条件

4 条件极值

8．5．2 例题分析

1 有关极值概念中的一些问题

2 极值与最值

3 具有一个约束条件的条件极值问题

4 具有两个约束条件的条件极值问题

8．6 综合题、杂题

8．7 习题与答案

8．7．1 习题

8．7．2 答案

第9章 重积分

9．1 重积分

9．1．1 内容提要

1 二重积分定义

2 二重积分性质

3 二重积分的计算方法--累次积分法

4 重积分的几何意义

9．1．2 例题分析

1 直角坐标中化二重积分为累次积分

2 极坐标中化二重积分为累次积分

3 二重积分的计算

4 积分区域的对称性及被积函数的奇偶性的利用

5 被积函数中绝对值的处理

6 二重积分的几何应用

7 二重积分中等式或不等式的证明

8 综合题

9．2 三重积分

9．2．1 内容提要

1 定义

2 计算方法

3 几何意义

9．2．2 例题分析

1 在直角坐标下的定限及计算

2 在直角坐标系中交换积分次序

3 在柱面坐标、球面坐标中的计算

4 积分区域对称性及被积函数奇偶性的利用

5 几何应用

6 证明题、综合题

9．3 重积分的物理应用

9．3．1 内容提要

1 质量

2 静力矩和质心

3 转动惯量

4 引力

9．3．2 例题分析

1 静力矩和质心

2 转动惯量

3 引力

9．4 习题与答案

9．4．1 习题

9．4．2 答案

第10章 曲线积分和曲面积分

10．1 曲线积分

10．1．1 内容提要

1 对弧长的曲线积分(第一型曲线积分)

2 对坐标的曲线积分(第二型曲线积分)

3 两类曲线积分之间的关系

10．1．2 例题分析

1 对弧长的曲线积分

2 对坐标的曲线积分

10．2 格林公式、积分与路径无关的充要条件

10．2．1 内容提要

1 格林公式

2 曲线积分与路径无关的等价条件

10．2．2 例题分析

1 l是简单封闭曲线的情况

2 l不是封闭曲线的情况

3 积分与路径无关

4 复连域的情况

5 综合题

10．3 曲面积分

10．3．1 内容提要

1 对曲面面积的曲面积分(第一型曲面积分)

2 对坐标的曲面积分(第二型曲面积分)

3 两类曲面积分的关系

10．3．2 例题分析

1 对面积的曲面积分

2 对坐标的曲面积分

10．4 高斯公式、斯托克斯公式及它们的应用

10．4．1 内容提要

1 高斯公式

2 斯托克斯公式

3 空间曲线积分与路径无关的条件

10．4．2 例题分析

1 高斯公式及其应用

2 斯托克斯公式及其应用

10．5 场论初步

10．5．1 内容提要

1 梯度

2 通量和散度

3 环流量和旋度

4 有势场和势函数

10．5．2 例题分析

1 方向导数和梯度

2 通量与散度

3 环流量与旋度

10．6 习题与答案

10．6．1 习题

10．6．2 答案

第11章 级数

11．1 数项级数的基本概念

11．1．1 内容提要

1 无穷级数概念

2 部分和概念，收敛、发散概念

3 级数收敛的必要条件

4 级数的基本性质

11．1．2 例题分析

1 利用级数的收敛性定义判断级数的收敛性

2 利用级数的性质判断级数的收敛性

11．2 同号级数收敛性的判别法

11．2．1 内容提要

1 定义

2 定理

3 正项级数收敛性的判别法

11．2．2 例题分析

1 利用比较法及其极限形式判断级数收敛性

2 利用达朗贝尔判别法、柯西判别法及柯西积分判别法判敛

3 证明题、杂题

11．3 交错级数与任意项级数

11．3．1 内容提要

1 定义

2 绝对收敛与条件收敛

3 莱布尼兹判别法

11．3．2 例题分析

1 交错级数收敛、条件收敛与绝对收敛

2 综合题、杂题

11．4 函数项级数的一般概念

11．4．1 内容提要

1 定义

2 一致收敛概念

3 和函数的解析性质

11．4．2 例题分析

1 求函数项级数的收敛域

2 判别函数项级数的一致收敛性

11．5 幂级数的收敛半径、收敛域及和函数

11．5．1 内容提要

1 定义

2 阿贝尔定理

3 收敛区间

4 幂级数的运算性质

11．5．2 例题分析

1 求幂级数的收敛域

2 求幂级数的和函数

11．6 函数的幂级数展开式、幂级数的应用

11．6．1 内容提要

1 定义

2 性质

3 几个重要函数的麦克劳林级数

11．6．2 例题分析

1 将函数展开成幂级数

2 幂级数在近似计算中的应用

3 综合题、杂题

11．7 傅里叶级数

11．7．1 内容提要

1 定义

2 收敛定理--狄利克雷充分条件

11．7．2 例题分析

1 将f(x)在[-]上展成傅里叶级数

2 将f(x)在[0，]上展成正弦级数与余弦级数

3 将f(x)在[o，l]上层成傅里叶级数

11．8 习题与答案

11．8．1 习题

11．8．2 答案

第12章 常微分方程

12．1 基本概念

12．1．1 内容提要

1 常微分方程和偏微分方程

2 解和隐式解

3 通解(通积分)和特解

4 积分曲线和积分曲线族

12．1．2 例题分析

12．2 一阶微分方程及初等解法

12．2．1 内容提要

1 存在性及惟一性定理

2 可以用初等解法求解的一阶微分方程

12．2．2 例题分析

1 类型(1)～(5)的一阶方程求解

2 做适当变换求解一阶方程

3 一阶线性微分方程的解的定性理论

4 一阶微分方程的物理、几何应用

5 综合题、杂题

12．3 高阶微分方程

12．3．1 内容提要

1 存在性和惟一性定理

2 3种最简单的高阶方程类型

3 二阶线性方程的存在性和惟一性定理

4 二阶线性齐次方程的通解结构

5 二阶线性非齐次方程的通解结构

6 n阶线性方程的一般理论

12．3．2 例题分析

1 利用降阶法求解高阶微分方程

2 高阶方程的物理应用

3 如何求解二阶线性变系数微分方程

4 二阶线性微分方程解的定性理论

5 有关函数组的朗斯基行列式

6 综合题、杂题

12．4 常系数线性方程(组)

12．4．1 内容提要

1 一般形式

2 二阶常系数线性齐次方程

3 二阶常系数线性非齐次方程

4 欧拉方程

5 常系数线性微分方程组

12．4．2 例题分析

1 如何求常系数线性齐次方程的通解

2 如何求常系数线性非齐次方程的通解和特解

3 如何利用特征根反求微分方程

4 二阶常系数线性微分方程的物理应用

5 如何求解欧拉方程

6 如何求解微分方程组

7 综合题、杂题

12．5 习题与答案

12．5．1 习题

12．5．2 答案

自我检查题及解答

自我检查题(3)

自我检查题(3)解答

自我检查题(4)

自我检查题(4)解答