简介
本书非常独特之处在于从“问题解决”这个的视角阐释传统的近世代数课程内容，更多地关注近世代数中各种抽象概念、抽象的代数结构在解决数学中重大疑难问题所发挥的作用，强调近世代数的理论应用，强调近世代数的发展过程。这样能够使学生更多地了解抽象理论所产生的实际背景，了解近世代数与其他数学分支领域之间的密切关系。同时，在每一章都安排了将一般理论应用于解决一个比较重要的实际问题，将传统“近世代数”的内容与“问题解决”有机地结合在一起，这样还能够较好地帮助学习者克服“近世代数”课程中由于概念抽象而带来的学习困难。
目录
第1章 导引…………………………………………………………………… 1
1．1方法与对象……………………………………………………………1
1．2映射与运算……………………………………………………………4
1．3群、环、域的定义……………………………………………………5
第2章 数环与数域……………………………………………………………8
2．1整数剩余类环…………………………………………………………8
2．2整环的分式域…………………………………………………………10
2．3素域与扩域……………………………………………………………12
2．4素数的欧拉分解………………………………………………………14
2．5Hamilton四元数环……………………………………………………15
2．6Lagrange平方和定理…………………………………………………17
第3章 尺规作图问题…………………………………………………………19
3．1扩域的生成……………………………………………………………19
3．2单代数扩域……………………………………………………………2l
3．3尺规作图问题…………………………………………………………25
3．4 正n边形作图与：Fermat素数………………………………………27
第4章 对称与群………………………………………………………………30
4．1对称变换………………………………………………………………30
4．2群的表出法……………………………………………………………32
4．3对称群与交代群………………………………………………………36
4．4空间运动群……………………………………………………………38
4．5晶体对称群……………………………………………………………41
第5章 代数方程的Galois理论………………………………………………48
5．1低次方程的求根公式…………………………………………………48
5．2对称多项式……………………………………………………………50
5．3多项式的分裂域………………………………………………………52
5．4有限域…………………………………………………………………54
5．5代数基本定理…………………………………………………………55
5．6Galois群………………………………………………………………59
5．7方程的Galois理论……………………………………………………62
5．8不可解方程……………………………………………………………66
第6章 从勾股数到费马大定理………………………………………………70
6．1勾股定理与勾股数……………………………………………………70
6．2费马问题的费马方法…………………………………………………71
6．3欧拉方法…………………………一…………………………………72
6．4整环中的因子分解……………………………………………………75
6．5主理想环与欧氏环……………………………………………………77
6．6高斯方法………………………………………………………………79
6．7二次代数整数环………………………………………………………81
第7章 域上的代数……………………………………………………………83
7．1代数的定义与例………………………………………………………83
7．2实数域上的可除代数…………………………………………………84
7．3欧拉型恒等式问题……………………………………………………88
7．4合成代数分类…………………………………………………………93
第8章 多项式环的理想………………………………………………………96
8．1希尔伯特基定理………………………………………………………96
8．2代数簇…………………………………………………………………98
8．3代数簇的不可约分解…………………………………………………101
第9章 理想的唯一分解性……………………………………………………103
9．1理想的运算……………………………………………………………103
9．2环中的整元素…………………………………………………………105
9．3R-序模…………………………………………………………………108
9．4理想因子分解唯一性…………………………………………………110
第10章 希尔伯特第17问题…………………………………………………113
10．1数的平方和问题………………………………………………………113
10．2Tarski定理……………………………………………………………115
10．3希尔伯特第17问题……………………………………………………116
参考文献………………………………………………………………………118
1．1方法与对象……………………………………………………………1
1．2映射与运算……………………………………………………………4
1．3群、环、域的定义……………………………………………………5
第2章 数环与数域……………………………………………………………8
2．1整数剩余类环…………………………………………………………8
2．2整环的分式域…………………………………………………………10
2．3素域与扩域……………………………………………………………12
2．4素数的欧拉分解………………………………………………………14
2．5Hamilton四元数环……………………………………………………15
2．6Lagrange平方和定理…………………………………………………17
第3章 尺规作图问题…………………………………………………………19
3．1扩域的生成……………………………………………………………19
3．2单代数扩域……………………………………………………………2l
3．3尺规作图问题…………………………………………………………25
3．4 正n边形作图与：Fermat素数………………………………………27
第4章 对称与群………………………………………………………………30
4．1对称变换………………………………………………………………30
4．2群的表出法……………………………………………………………32
4．3对称群与交代群………………………………………………………36
4．4空间运动群……………………………………………………………38
4．5晶体对称群……………………………………………………………41
第5章 代数方程的Galois理论………………………………………………48
5．1低次方程的求根公式…………………………………………………48
5．2对称多项式……………………………………………………………50
5．3多项式的分裂域………………………………………………………52
5．4有限域…………………………………………………………………54
5．5代数基本定理…………………………………………………………55
5．6Galois群………………………………………………………………59
5．7方程的Galois理论……………………………………………………62
5．8不可解方程……………………………………………………………66
第6章 从勾股数到费马大定理………………………………………………70
6．1勾股定理与勾股数……………………………………………………70
6．2费马问题的费马方法…………………………………………………71
6．3欧拉方法…………………………一…………………………………72
6．4整环中的因子分解……………………………………………………75
6．5主理想环与欧氏环……………………………………………………77
6．6高斯方法………………………………………………………………79
6．7二次代数整数环………………………………………………………81
第7章 域上的代数……………………………………………………………83
7．1代数的定义与例………………………………………………………83
7．2实数域上的可除代数…………………………………………………84
7．3欧拉型恒等式问题……………………………………………………88
7．4合成代数分类…………………………………………………………93
第8章 多项式环的理想………………………………………………………96
8．1希尔伯特基定理………………………………………………………96
8．2代数簇…………………………………………………………………98
8．3代数簇的不可约分解…………………………………………………101
第9章 理想的唯一分解性……………………………………………………103
9．1理想的运算……………………………………………………………103
9．2环中的整元素…………………………………………………………105
9．3R-序模…………………………………………………………………108
9．4理想因子分解唯一性…………………………………………………110
第10章 希尔伯特第17问题…………………………………………………113
10．1数的平方和问题………………………………………………………113
10．2Tarski定理……………………………………………………………115
10．3希尔伯特第17问题……………………………………………………116
参考文献………………………………………………………………………118
抽象代数:理论、问题与方法
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