高等数学.上

前 言
第1章 函数与极限1
1.1 集合与映射1
1.1.1 集合1
1.1.2 区间与邻域4
1.1.3 映射5
习题1-17
1.2 函数8
1.2.1 函数的基本问题与分段函数8
1.2.2 函数的几种特性12
1.2.3 反函数与复合函数15
1.2.4 初等函数及双曲函数16
延伸阅读17
习题1-218
1.3 数列及其极限20
1.3.1 关于数列21
1.3.2 数列的极限与无穷小23
延伸阅读28
习题1-330
1.4 函数的极限31
1.4.1 关于极限lim玿→∞f(x)与无穷小31
1.4.2 关于极限lim玿→x0f(x)与无穷小36
1.4.3 几个常用定理与极限的统一39
延伸阅读40
习题1-441
1.5 无穷小的再讨论及其运算 无穷大42
1.5.1 无穷小的进一步讨论421.5.2 无穷小的运算性质43
1.5.3 无穷大44
习题1-5 48
1.6 极限的运算法则48
1.6.1 极限的四则运算49
1.6.2 复合函数的极限52
习题1-653
1.7 极限存在准则 两个重要极限54
1.7.1 准则I与重要极限I54
1.7.2 准则II与重要极限II57
习题1-759
1.8 无穷小的比较60
习题1-863
1.9 函数的连续性与连续函数的运算64
1.9.1 函数的连续性64
1.9.2 连续函数的运算69
1.9.3 初等函数的连续性70
习题1-971
1.10 闭区间上连续函数的性质72
1.10.1 最大最小值定理与有界性定理72
1.10.2 零点定理与介值定理73
习题1-1075
提高训练题76
第2章 导数与微分78
2.1 导数78
2.1.1 导数的背景78
2.1.2 导数的定义79
2.1.3 可导与连续的关系83
习题2-184
2.2 求导法则与高阶导数85
2.2.1 函数和、积、商的导数85
2.2.2 反函数的导数87
2.2.3 复合函数的导数88
2.2.4 高阶导数90
习题2-292
2.3 隐函数及参数方程的导数94
2.3.1 隐函数的求导法则94
2.3.2 对数求导法95
2.3.3 参数方程的求导法则97
习题2-398
2.4 函数的微分100
2.4.1 函数的微分100
延伸阅读102
2.4.2 微分在近似计算中的应用102
习题2-4103
提高训练题104
第3章 微分中值定理与导数应用106
3.1 微分中值定理106
习题3-1110
3.2 洛必达法则110
3.2.1 关于00,∞∞型未定式111
3.2.2 关于0·∞,∞-∞,00,1∞,∞0型未定式113
习题3-2115
3.3 泰勒公式116
延伸阅读119
习题3-3121
3.4 函数的单调性与极值121
习题3-4125
3.5 曲线的凹凸性与拐点126
习题3-5128
3.6 函数图形的描绘129
习题3-6131
3.7 最大最小值问题131
习题3-7133
3.8 曲率133
3.8.1 弧微分 134
3.8.2 弯曲度与平均曲率134
3.8.3 曲率135
3.8.4 曲率圆与曲率半径136
延伸阅读137
习题3-8139
提高训练题139
第4章 不定积分142
4.1 不定积分的概念与性质142
4.1.1 原函数与不定积分142
4.1.2 不定积分的基本公式及性质143
延伸阅读146
习题4-1147
4.2 换元积分法148
4.2.1 第一类换元法148
4.2.2 第二类换元法154
习题4-2158
4.3 分部积分法160
习题4-3162
4.4 有理函数的积分与可化为有理函数的积分问题163
4.4.1 有理函数的积分163
4.4.2 可化为有理函数的积分166
延伸阅读169
习题4-4170
提高训练题171
第5章 定积分及其应用172
5.1 定积分的概念与性质172
5.1.1 定积分概念及产生的背景172
5.1.2 定积分的定义174
5.1.3 定积分的性质176
习题5-1 180
5.2 微积分基本公式181
5.2.1 变动上限的积分182
5.2.2 牛顿-莱布尼茨定理183
5.2.3 变上限函数的导数184
习题5-2186
5.3 定积分的换元法与分部积分法188
5.3.1 定积分的换元积分法188
5.3.2 分部积分法192
习题5-3192
5.4 反常积分194
5.4.1 无界区间上的反常积分194
5.4.2 无界函数的反常积分197
习题5-4199
5.5 定积分的几何应用200
5.5.1 平面区域的面积问题201
5.5.2 旋转体的体积问题207
5.5.3 平面曲线的弧长210
习题5-5212
5.6 定积分的物理应用213
5.6.1 变力沿直线所做的功213
5.6.2 水的压力214
5.6.3 引力215
习题5-6216
提高训练题216
第6章 微分方程219
6.1 常微分方程的基本概念219
6.1.1 微分方程的解、通解与特解219
6.1.2 初值问题(Cauchy问题)221
习题6-1222
6.2 一阶微分方程及其解法222
6.2.1 可分离变量的一阶微分方程223
6.2.2 一阶齐次微分方程224
6.2.3 一阶线性微分方程226
延伸阅读228
习题6-2229
6.3 可降阶的二阶微分方程230
6.3.1 缺y型的二阶微分方程230
6.3.2 缺x型的二阶微分方程232
6.3.3 同时缺y和y′型的二阶微分方程233
习题6-3233
6.4 二阶常系数线性微分方程234
6.4.1 二阶线性微分方程及其解的结构234
6.4.2 二阶常系数齐次线性微分方程235
6.4.3 二阶常系数非齐次线性微分方程238
延伸阅读241
习题6-4243
6.5 微分方程应用举例244
习题6-5246
提高训练题247
附录A 几种常用曲线249
附录B 高等数学常用公式251
部分习题答案与提示252
提高训练题答案与提示288