Matrix Theory

前言

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第1章 线性空间上的线性算子

1．1 线性空间

1．1．1 线性空间的定义及基本性质

1．1．2 基、维数与坐标

*1．1．3 线性子空间

习题1．1

1．2 线性算子及其矩阵

1．2．1 线性空间上的线性算子

1．2．2 同构算子与线性空间同构

1．2．3 线性算子的矩阵表示

1．2．4 线性算子的运算

1．2．5 线性变换与方阵

1．2．6 线性变换的特征值问题

*1．2．7 线性变换的不变子空间

习题1．2

第2章 内积空间上的等积变换

2．1 内积空间

2．1．1 内积与欧几里得空间

.2．1．2 酉空间介绍

习题2．1

2．2 等积变换及其矩阵

2．2．1 正交变换与正交矩阵

2．2．2 两类常用的正交变换及其矩阵

*2．2．3 酉变换与酉矩阵介绍

*2．2．4 正交投影变换与正交投影矩阵

习题2．2

*2．3 埃尔米特变换及其矩阵

2．3．1 对称变换与埃尔米特变换

2．3．2 埃尔米特正定、半正定矩阵

2．3．3 矩阵不等式

2．3．4 埃尔米特矩阵特征值的性质

2．3．5 一般的复正定矩阵

2．3．6 规矩阵

习题2．3

第3章 刀矩阵与若尔当标准形

3．1 矩阵

3．1．1 λ矩阵的概念

3．1．2 矩阵在相抵下的标准形

3．1．3 不变因子与初等因子

3．2 若尔当标准形

3．2．1 数字矩阵化为相似的若尔当标准形

3．2．2 若尔当标准形的应用

3．3 凯莱-哈密顿定理与最小多项式

习题3

第4章 赋范线性空间与矩阵范数

4．1 赋范线性空间

4．1．1 向量的范数

4．1．2 向量范数的性质

习题4．1

4．2 矩阵的范数

4．2．1 矩阵范数的定义与性质

4．2．2 算子范数

4．2．3 谱范数的性质和谱半径

习题4．2

4．3 摄动分析与矩阵的条件数

4．3．1 病态方程组与病态矩阵

4．3．2 矩阵的条件数

*4．3．3 矩阵特征值的摄动分析

习题4．3

第5章 矩阵分析及其应用

5．1 向量序列和矩阵序列的极限

5．1．1 向量序列的极限

5．1．2 矩阵序列的极限

5．2 矩阵级数与矩阵函数

5．2．1 矩阵级数

5．2．2 矩阵函数

5．3 函数矩阵的微分和积分

5．3．1 函数矩阵对实变量的导数

5．3．2 函数矩阵特殊的导数

5．3．3 矩阵的全微分

5．3．4 函数矩阵的积分

*5．4 矩阵微分方程

5．4．1 常系数齐次线性微分方程组的解

5．4．2 常系数非齐次线性微分方程组的解

5．4．3 n阶常系数微分方程的解

习题5

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第6章 广义逆矩阵及其应用

6．1 矩阵的几种广义逆

6．1．1 广义逆矩阵的基本概念

6．1．2 减号逆a-

6．1．3 自反减号逆a-r

6．1．4 最小范数广义逆a-m

6．1．5 最小二乘广义逆a-1

6．1．6 加号逆a+

6．2 广义逆在解线性方程组中的应用

6．2．1 线性方程组求解问题的提法

6．2．2 相容方程组的通解与a-

6．2．3 相容方程组的极小范数解与a-m

6．2．4 矛盾方程组的最小二乘解与a-1

6．2．5 线性方程组的极小最小二乘解与a+

习题6

第7章 矩阵分解

7．1 矩阵的三角分解

7．1．1 消元过程的矩阵描述

7．1．2 矩阵的三角分解

7．1．3 常用的三角分解公式

7．2 矩阵的qr(正交三角)分解

7．2．1 qr分解的概念

7．2．2 qr分解的实际求法

7．3 矩阵的最大秩分解

7．4 奇异值分解与谱分解

7．4．1 矩阵的奇异值分解

7．4．2 单纯矩阵的谱分解

习题7

第8章 几类特殊矩阵

8．1 非负矩阵

8．1．1 非负矩阵与正矩阵

8．1．2 不可约非负矩阵

8．1．3 素矩阵与循环矩阵

8．2 随机矩阵与双随机矩阵

8．3 单调矩阵

8．4 m矩阵与h矩阵

8．4．1 m矩阵

8．4．2 h矩阵

8．5 t矩阵与汉克尔矩阵

习题8

第9章 矩阵的特殊积及其应用

9．1 克罗内克积

9．1．1 克罗内克积的概念

9．1．2 克罗内克积的性质

9．2 阿达马积

9．3 反积及非负矩阵的阿达马积

9．4 克罗内克积应用举例

9．4．1 矩阵的拉直

9．4．2 线性矩阵方程的解

习题9

第10章 辛空间与辛变换简介

10．1 反对称双线性函数与辛空间

10．1．1 反对称双线性函数

10．1．2 线性函数的外积

10．1．3 辛空间的定义

10．2 子空间的反对称正交补

10．2．1 反对称正交补

10．2．2 几种特殊的子空间

10．2．3 辛空间的性质

10．2．4 辛基

10．3 辛变换与辛矩阵

10．3．1 辛变换及其矩阵

10．3．2 辛变换的特征值

10．4 辛对合

习题10

附录 模拟考试自测试题(共十套)

参考书目