数值方法与计算机实现

第1章 绪论1

1.1 数值型算法的特点1

1.2 误差与运算误差分析4

1.3 三项递推关系的稳定性16

1.4 正交多项式22

1.4.1 正交多项式的基本概念22

1.4.2 几个常用的正交多项式23

1.4.3 正交多项式的构造33

习题135

第2章 线性代数方程组与矩阵运算38

2.1 线性代数方程组的直接解法39

2.1.1 高斯消去法39

2.1.2 高斯-若尔当消去法49

2.2 带状方程组56

2.2.1 三对角方程组56

2.2.2 一般带状方程组59

2.3 线性代数方程组的迭代解法66

2.3.1 简单迭代法66

2.3.2 高斯-赛德尔迭代法70

2.3.3 松弛法73

.2.4 共轭梯度法及其基本概念74

2.4.1 几个基本概念74

2.4.2 共轭梯度法75

2.5 矩阵分解82

2.5.1 lu分解82

2.5.2 乔里斯基分解87

2.5.3 qr分解88

2.6 矩阵求逆95

2.6.1 原地工作的矩阵求逆96

2.6.2 全选主元100

2.7 特普利兹系统108

2.7.1 求解特普利兹型线性代数方程组的递推算法108

2.7.2 特普利兹矩阵的求逆113

2.8 关于病态系统121

习题2122

第3章 矩阵特征值125

3.1 关于矩阵特征值与特征向量的基本概念125

3.2 计算绝对值最大的特征值的乘幂法128

3.3 求对称矩阵特征值与特征向量的雅可比方法134

3.4 求对称矩阵特征值与特征向量的豪斯荷尔德方法145

3.4.1 用豪斯荷尔德变换将一般实对称矩阵约化成对称三对角矩阵146

3.4.2 确定对称三对角矩阵的特征值149

3.5 求一般实矩阵全部特征值的qr方法153

3.5.1 用初等相似变换将一般实矩阵约化成上h矩阵154

3.5.2 qr方法确定上h矩阵的特征值157

3.5.3 qr方法求多项式方程的全部根164

习题3165

第4章 非线性方程与方程组167

4.1 方程求根的基本过程167

4.2 对分法与试位法169

4.2.1 对分法169

4.2.2 试位法173

4.3 逐次代入法175

4.3.1 简单迭代法175

4.3.2 艾特肯迭代法179

4.4 牛顿迭代法与插值法182

4.4.1 牛顿迭代法182

4.4.2 插值法185

4.5 控制迭代过程结束的条件186

4.6 非线性方程组的求解188

4.6.1 梯度法188

4.6.2 拟牛顿法191

习题4198

第5章 代数插值200

5.1 插值的基本概念200

5.2 拉格朗日插值法203

5.2.1 拉格朗日插值多项式的构造203

5.2.2 插值多项式的余项208

5.2.3 插值的逼近性质210

5.3 艾特肯逐步插值法212

5.4 牛顿插值法217

5.4.1 差商与牛顿插值公式217

5.4.2 差分与等距结点插值公式221

5.5 厄米特插值法224

5.6 样条插值法227

5.6.1 样条函数的概念227

5.6.2 三次样条插值函数的构造228

习题5247

第6章 函数逼近与曲线拟合250

6.1 均方逼近250

6.1.1 均方逼近的基本概念250

6.1.2 最佳均方逼近多项式250

6.2 最小二乘曲线拟合253

6.2.1 最小二乘曲线拟合的基本概念253

6.2.2 线性拟合254

6.2.3 多变量线性拟合261

6.2.4 一般多项式拟合267

6.2.5 用正交多项式进行最小二乘曲线拟合269

6.3 一致逼近275

6.3.1 一致逼近的基本概念275

6.3.2 最佳一致逼近多项式276

6.3.3 列梅兹算法279

习题6284

第7章 数值积分与数值微分286

7.1 牛顿-科兹积分公式287

7.2 变步长求积法290

7.2.1 变步长梯形求积法290

7.2.2 变步长辛普森求积法293

7.3 龙贝格求积法296

7.4 高斯求积法299

7.4.1 代数精度的概念299

7.4.2 高斯求积法301

7.4.3 几种常用的高斯求积公式304

7.5 高振荡函数的求积法310

7.6 数值微分318

7.6.1 差分公式318

7.6.2 理查森外推法320

7.6.3 拉格朗日微分公式323

习题7325

第8章 常微分方程数值解327

8.1 常微分方程初值问题数值解的基本思想328

8.2 欧拉方法330

8.3 龙格-库塔法335

8.4 一阶微分方程组与高阶微分方程339

8.5 线性多步法347

8.5.1 阿当斯方法347

8.5.2 汉明方法352

8.6 常微分方程边值问题数值解358

8.6.1 试射法358

8.6.2 有限差分法363

8.7 刚性微分方程368

习题8370

第9章 连分式及其新计算法372

9.1 连分式372

9.1.1 连分式的基本概念372

9.1.2 函数连分式的基本概念374

9.1.3 函数连分式的计算375

9.2 连分式插值法377

9.2.1 连分式插值的基本概念377

9.2.2 连分式插值函数的构造377

9.2.3 连分式逐步插值381

9.3 方程求根的连分式解法382

9.4 一维积分的连分式解法386

9.5 常微分方程初值问题的连分式解法391

习题9397

附录a 习题参考答案398

参考文献407