微分方程数值解法

前 言

第一章 绪论.

§1 微分方程

§2 数值求解微分方程的意义

§3 数值求解方法概述

第二章 常微分方程的初值问题

§1 常微分方程的若干理论

§2 单步方法

§2．1 从euler方法谈起

§2．2 高阶单步方法的构造

§2．3 高阶单步方法的性态分析

§2．4 高阶单步方法的计算

§3 线性多步方法

§3．1 adams方法和gear方法

§3．2 一般线性多步方法的构造

§3．3 线性多步方法的性态分析

§3．4 线性多步方法的计算

*§4 微分方程组和刚性问题

§4．1 一阶常微分方程组

§4．2 刚性问题

.§4．3 刚性问题的数值方法

习题

计算实习

第三章 差分法解边值问题

§1 解两点边值问题的差分方法

§1．1 差分格式的导出

§1．2 差分解的性态研究

§1．3 解差分方程组的追赶法

§2 解椭圆边值问题的差分方法

§2．1 矩形网格

§2．2 边界条件处理

§2．3 三角形网格

§3 椭圆差分方程的性态研究

§3．1 极值原理和解的存在唯一性

§3．2 差分解的收敛性和误差估计

§3．3 五点差分格式的敛速估计

习题

计算实习

第四章 外推法

§1 外推法的引入

§1．1 用外推法进行误差估计

§1．2 一个简单的例子

*§2 展开式定理

§3 加速收敛

§3．1 多项式外推

*§3．2 偶次幂余项的外推

§4 外推方法的应用

§4．1 常微分方程初值问题——euler方法

*§4．2 常微分方程初值问题——中心差分格式

*§4．3 有理外推法的执行

*§4．4 常微分方程两点边值问题

习题..

计算实习

第五章 发展方程的差分方法

§1 几个典型的发展方程

§2 扩散方程的差分化

§2．1 扩散方程的离散

§2．2 计算格式示例

§2．3 第一类混合问题差分方程的真解

§3 稳定性分析

§3．1 稳定性与收敛性

§3．2 lax等价原理

§3．3 稳定性分析方法之一——直接法

§3．4 稳定性分析方法之二——分离变量法

§3．5 稳定性分析方法之三——最大模方法

§3．6 稳定性分析方法之四——传播因子法

§3．7 算例分析

*§3．8 稳定性的进一步讨论

§4 双曲型方程的差分化和稳定性

§4．1 对流方程的离散

§4．2 波动方程的离散

§4．3 稳定性分析

§4．4 线性双曲型方程组的差分化

*§5 高维问题

§5．1 高维发展方程的差分化

§5．2 交替方向迭代法

习题

计算实习

第六章 变分及泛函的极值问题

§1 变分问题

§1．1 从两点边值问题谈起

§1．2 泛函和变分

§1．3 两点边值问题的变分形式

§1．4 椭圆型方程的变分形式

§2 泛函的极值问题

§2．1 与两点边值问题等价的泛函极值问题

§2．2 与椭圆型方程相应的泛函极值问题

§2．3 极值问题与变分问题之间的联系

§3 变分和泛函极值问题的近似求解

§3．1 变分和泛函极值问题的进一步讨论

§3．2 ritz法

§3．3 galerkin法

习题

计算实习

第七章 椭圆型方程的有限元解法

§1 解两点边值问题的有限元方法

§1．1 基于变分问题的有限元方法

§1．2 基于泛函极值问题的有限元方法

§1．3 有限元方法解两点边值问题的误差估计

§1．4 高次形状函数的有限元方程

§2 多角区域上椭圆型方程的有限元方法

§2．1 有限元方法解椭圆型方程的过程

§2．2 有限元方法解椭圆型方程的误差估计

§2．3 面积坐标

§2．4 高次形状函数的有限元方程

*§3 曲边三角形和等参元

§3．1 光滑区域上的有限元方法

§3．2 等参元

*§4 有限元方法的超收敛性质简介

习题

计算实习

第八章 多重网格法和区域分裂法简介

§1 多重网格法简介

§1．1 经典迭代算法的缺陷

§1．2 多重网格法的基本思想

*§1．3 多重网格法的格式

§2 区域分裂法简介

§2．1 区域分裂法的思想

§2．2 加性schwarz方法

*§2．3 条件数估计

附录 差分方程简介

习题...