数学物理方法

第一部分 复变函数

1 复数和复变函数

1．1 预备知识：复数与复数运算

1．2 复数序列

1．3 复变函数

1．4 复变函数的极限和连续

1．5 无穷远点

1．6 正十七边形问题

习题

2 解析函数

2．1 可导与可微

2．2 解析函数

2．3 初等函数

2．4 多值函数

2．5 解析函数的保角性

习题

3 复变积分

3．1 复变积分

3．2 单连通区域的柯西定理

3．3 复连通区域的柯西定理

.3．4 两个有用的引理

3．5 柯西积分公式

3．6 解析函数的高阶导数

3．7 柯西型积分及含参量积分的解析性

3．8 泊松公式

习题

4 无穷级数

4．1 复数级数

4．2 二重级数

4．3 函数级数

4．4 幂级数

4．5 含参量的反常积分的解析性

4. 6 发散级数与渐近级数

习题

5 解析函数的局域性展开

5．1 解析函数的泰勒展开

5．2 泰勒级数求法举例

5．3 解析函数的零点孤立性和解析函数

的唯一性

5．4 解析函数的洛朗展开

5．5 洛朗级数求法举例

5．6 单值函数的孤立奇点

5．7 解析延拓

5．8 伯努利数和欧拉数

习题

6 二阶线性常微分方程的幂级数解法

6. 1 二阶线性常微分方程的常点和奇点

6．2 方程常点邻域内的解

6．3 方程正则奇点邻域内的解

6．4 贝塞耳方程的解

6．5 方程非正则奇点附近的解

习题

7 留数定理及其应用

7．1 留数定理

7．2 有理三角函数的积分

7．3 无穷积分

7．4 含三角函数的无穷积分

7．5 实轴上有奇点的情形

7．6 多值函数的积分

7．7 应用留数定理计算无穷级数的和

7．8 留数定理的其他应用

习题

8 函数

8．1 函数的定义

8．2 函数的基本性质

8．3 函数

8．4 b函数

8．5 函数的普遍表达式

8．6 函数的渐近展开

8．7 几个特殊函数公式的订正

8．8 黎曼 函数和默比乌斯变换

习题

9 拉普拉斯变换

9．1 拉普拉斯变换

9．2 拉普拉斯变换的基本性质

9．3 拉普拉斯变换的反演

9．4 普遍反演公式

9．5 利用拉普拉斯变换计算级数和

习题

10 函数

10．1 函数

10．2 利用 函数计算定积分

10．3 常微分方程初值问题的格林函数

10．4 常微分方程边值问题的格林函数

10．5 求解常微分方程的格林函数方法

习题

11 mathematica中的复变函数

11．1 mathematica中的数及其运算

11．2 变量和函数

11．3 极限和微积分计算

11．4 幂级数张开与求和

11．5 求解微分方程

11．6 拉普拉斯变换和傅里叶变换

11．7 函数

11．8 mathematica作图

第二部分 数学物理方程

12 数学物理方程和定解条件

12．1 弦的横振动方程

12．2 杆的纵振动方程

12．3 热传导方程

12．4 稳定问题

12．5 边界条件与初始条件

12．6 内部界面上的连接条件

12．7 定解问题的适定性

习题

13 线性偏微分方程的通解

13．1 线性偏微分方程解的叠加性

13．2 常系数线性齐次偏微分方程的通解

13．3 常系数线性非齐次偏微分方程的通解

13．4 特殊的变系数线性齐次偏微分方程

13．5 波动方程的行波解

13．6 波的耗散和色散

13．7 热传导方程的定性讨论

13．8 拉普拉斯方程的定性讨论

习题

14 分离变量法

14．1 两端固定弦的自由振动

14．2 分离变量法的物理诠释

14．3 矩形区域内的稳定问题

14．4 多于两个自变量的定解问题

14．5 两端固定弦的受迫振动

14．6 非齐次边界条件的齐次化

习题

15 正交曲面坐标系

15．1 正交曲面坐标系

15．2 正交曲面坐标系中的拉普拉斯算符

15．3 拉普拉斯算符的平移、转动和反射不变性

15．4 圆形区域

15．5 亥姆霍兹方程在柱坐标系下的分离变量

15．6 亥姆霍兹方程在球坐标系下的分离变量

15．7 矢量波动方程和矢量亥姆霍兹方程

习题

16 球函数

16．1 勒让德方程的解

16．2 勒让德多项式

16．3 勒让德多项式的微分表示

16．4 勒让德多项式的正交完备性

16．5 勒让德多项式的生成函数

16．6 勒让德多项式的递推关系

16．7 勒让德多项式应用举例

16．8 连带勒让德函数

16．9 球面调和函数

16．10 连带勒让德函数的加法公式

16．11 超几何函数

习题

17 柱函数

17．1 贝塞耳函数和诺伊曼函数

17．2 贝塞耳函数的递推关系

17．3 贝塞耳函数的渐近展开

17．4 整数阶贝塞耳函数的生成函数和积分表示

17．5 贝塞耳方程的本征值问题

17．6 汉克尔函数

17．7 虚宗量贝塞耳函数

17．8 半奇数阶贝塞耳函数

17．9 球贝塞耳函数

17．10 合流超几何函数

附录 涉及贝塞耳函数的常微分方程

习题

18 分离变量法总结

18．1 内积空间

18．2 函数空间

18．3 自伴算符的本征值问题

18．4 斯图姆-刘维尔型方程的本征值问题

18．5 斯图姆-刘维尔型方程本征值问题的简并现象

18．6 从斯图姆-刘维尔型方程的本征值问题看分离变量法

习题

19 积分变换的应用

19．1 拉普拉斯变换

19．2 傅里叶变换

参考书目

外国人名译名中英对照表

习题答案

19．3 半无界空间的情形

19．4 关于积分变换的一般讨论

19．5 小波变换简介

习题

20 格林函数方法

20．1 格林函数的概念

20．2 稳定问题格林函数的一般性质

20．3 三维无界空间亥姆霍兹方程的格林函数

20．4 圆内泊松方程第一边值问题的格林函数

20．5 波动方程的格林函数

20．6 热传导方程的格林函数习题

21 变分法初步

21．1 泛函的概念

21．2 泛函的极值

21．3 泛函的条件极值

21．4 微分方程定解问题和本征值问题的变分形式

21．5 变边值问题

21．6 瑞利-里兹方法

习题

22 数学物理方程综述

22．1 二阶线性偏微分方程的分类

22．2 线性偏微分方程解法述评

22．3 非线性偏微分方程问题

22．4 结束语

习题