高等数学辅导讲义

第一章 函数
1 函数概念与几类常见的函数
2 复合函数，反函数与初等函数
第二章 极限
1 数列的极限概念
2 函数极限概念
3 极限的性质
4 无穷小量，无穷大量及其联系
5 极限运算法则
6 极限存在性准则与两个重要的极限
7 无穷小的比较
8 函数极限与数列极限的关系，极限的不存在问题
第三章 函数的连续性
1 函数的连续性概念及其判断
2 连续函数的性质
3 函数连续性的应用
第四章 导数
1 导数与高阶导数概念
2 导数表与求导法则
3 分段函数的求导法
4 n阶导数的求法
5 导数的简单应用
第五章 微分
1 微分概念
2 微分法则与一阶微分形式的不变性
3 微分在近似计算中的应用
第六章 微分学中的中值定理及其应用
1 微分学中的中值定理
2 函数为常数的条件与函数恒等式的证明
3 函数单调性与极值点的判别法
4 函数的最大值与最小值问题
5 函数凹凸性与拐点的判别法
6 利用导数作函数图形
7 柯西中值定理的应用——洛必达法则
8 洛必达法则的应用——无穷小阶的比较与确定
9 微分学理论的应用——证明不等式
10 微分学理论的应用——证明导函数或函数存在零点
第七章 泰勒公式及其应用
1 带皮亚诺余项与拉格朗日余项的泰勒公式
2 泰勒公式的应用
第八章 不定积分
1 原函数与不定积分概念
2 基本积分表与不定积分的简单运算法则
3 不定积分的换元积分法
4 不定积分的分部积分法
5 分段函数的积分
6 几类初等函数的积分法
第九章 定积分
1 定积分的概念
2 定积分的性质
3 积分与微分的关系——牛顿-莱布尼兹公式
4 定积分的计算
5 变限积分及其性质
6 定积分的近似计算
7 定积分的微元分析法
8 定积分的几何应用
9 定积分的物理应用
10 广义积分
第十章 向量代数与空间解析几何
1 向量概念及向量的加法与数乘向量
2 向量的数量积，向量积与混合乘积
3 向量运算的几何应用
4 平面方程与直线方程
5 平面、直线间的相互关系与距离公式
6 曲面与曲线及二次曲面
7 空间曲线在平面上的投影曲线
第十一章 多元函数微分学
1 多元函数的概念，极限与连续性
2 偏导数
3 全微分与可微性
4 方向导数与梯度
5 复合函数的求导法则
6 复合函数求导法则的应用——隐函数求导法
7 复合函数求导法则的其他应用
8 多元函数微分学的几何应用
9 多元函数微分学在极值问题上的应用
10 二元函数的泰勒公式
第十二章 重积分
1 二重积分的概念与性质
2 二重积分的计算——在直角坐标系下化二重积分为累次积分
3 二重积分的计算——极坐标变换，平移变换与一般的变量替换
4 三重积分的概念与三重积分的计算——在直角坐标系中化三重积分为累次积分
5 三重积分的计算——平移变换，柱坐标变，球坐标变换与一般的变量替换
6 重积分的应用
第十三章 曲线积分与格林公式
1 曲线积分的概念与性质
2 第一型与第二型曲线积分的计算
3 格林公式及其应用
4 曲线积分与路径无关问题与全微分式的原函数问题
5 曲线积分的若干应用
第十四章 曲面积分，高斯公式与斯托克斯公式
1 第一型曲面积分
2 第二型曲面积分
3 曲面积分的应用
4 高斯公式及其应用
5 斯托克斯公式及其应用
6 向量场的通量与散度，环量与旋度
7 保守场，空间曲线积分与路径无关问题及微分式的原函数问题
第十五章 级数
1 级数的基本概念与性质
2 正项级数的收敛性判别法
3 任意项级数的收敛性判别法，条件收敛与绝对收敛
4 幂级数的收敛域与性质
5 函数的幂级数展开
6 幂级数的若干应用
7 函数的傅里叶系数与傅里叶级数
8 傅里叶级数的收敛性与函数的傅里叶级数展开
9 傅里叶级数的复数形式与频谱分析
10 函数项级数
第十六章 含参变量的积分与傅里叶变换
1 含参变量的定积分所确定的函数及其性质
2 含参变量的广义积分的一致收敛性
3 含参变量的广义积分的性质
4 用参变积分定义的特殊函数——Γ函数与B函数
5 傅里叶变换与傅里叶积分
6 傅氏变换的性质
第十七章 常微分方程
1 微分方程的基本概念
2 微分方程的初等积分法——可分离变量的方程与一阶线性方程
3 微分方程的初等积分法——初等变换法
4 全微分方程与积分因子
5 可降阶的二阶方程
6 微分方程的建模与应用（Ⅰ）
7 一阶微分方程小结
8 二阶线性微分方程解的性质与通解的结构
9 二阶常系数线性微分方程的通解与特解
10 某些特殊类型的二阶线性变系数方程
11 微分方程的建模与应用（Ⅱ）
12 可转化为常微分方程的若干情形