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简介
拓扑学是几何学的年轻分支之一，作为近代数学的基础理论学科，拓扑学的理论和方法已经渗透到数学的许多分支以及物理学、化学和生物学之中，而且在工程技术和经济领域中也有广泛的应用。将拓扑学的基本思想和方法直观而通俗地介绍给中学数学教师，并在中学数学教学中渗透拓扑学的思想，是时代对我们的要求，十分必要。为此，现正在全国范围内进行的《普通高中数学课程标准》（以下简称《课标》）改革实验，把拓扑学中的某些内容如《欧拉公式和闭曲面分类》列为选修课程，希望通过它使学生对拓扑变换有形象和直观的理解，体会拓扑不变量的思想，以及拓扑学方法的某些实际应用，而不追求形式化的严格定义，这些正合乎本书编写的宗旨。而且，这次本书修订增加的内容，有些就是为适应《课标》的要求添加的。因此，本书是中学数学教师进行《课标》中有关这一方面内容的教学和业务进修的很好的参考书。
目录
第1章什么是拓扑学／1
1.1从欧几里得几何学到拓扑学
1.2连续性
习题1
1.3几个最简单的拓扑不变量
1.3.1连通性及连通支的个数
1.3.2 割点的个数
1.3.3 点的指数
习题2
第2章多面体的欧拉公式／16
2.1简单多面体
2.2欧拉公式的几种证法
2.2.1 勒让德的证明
2.2.2 笛卡儿手稿中给出的证明
2.2.3 利用网络证明
习题3
附录1欧拉公式的发现
《欧拉公式的发现》读后感
2.3欧拉公式的一个应用
2.3.1 有关平面图的一些基本概念
2.3.2 两个最简单的不可平面图
习题4
2.4五种正多面体
2.4.1 正多面体只有五种
2.4.2 正多面体的一个有趣的性质
2.4.3 正多面体在四维空间的推广
习题5
2.5正十二面体的哈密尔顿问题
习题6
第3章七桥问题与地图着色问题／57
3.1 哥尼斯堡七桥问题与一笔画
习题7
附录2哥尼斯堡的七座桥
《哥尼斯堡的七座桥》读后感
3.2一笔画的一个应用
习题8
3.3五色定理和四色问题
3.3.1 关于四色问题
3.3.2五色定理的证明
习题9
第4章几个拓扑定理／82
4.1约当曲线定理
习题10
4.2布劳威尔不动点定理
习题11
4.3代数基本定理
习题12
第5章曲面／101
5.1.射影平面的模型和莫比乌斯带
5.1.1 射影平面的几个模型
5.1.2 射影平面和莫比乌斯带的关系
5.1.3 莫比乌斯带奇趣
5.2 曲面及其多边形表示
5.2.1 曲面的概念
5.2.2 曲面的多边形表示
习题13
5.3 曲面的欧拉示性数
5.3.1 曲面的欧拉示性数
5.3.2 曲面的三角剖分
5.3.3 闭曲面的拓扑分类
习题14
附录3 闭曲面拓扑分类的一个证明
第6章基本群和同调群的直观描述／133
6.1 引 言
6.2道路的同伦类
6.3基本群
习题15
6.4同调群的直观描述
6.5 闭链、边缘链和同调群
习题16
第7章初等突变理论简介／155
7.1初等突变理论及其模型
7.2初等突变理论的应用举例
附录4 突变模型在汉字识别上的应用尝试
第8章漫话纽结和链环／174
8.1 引言——一个线绳魔术
8.2纽结和链环
8.3 判断两个纽结相同（同痕）
习题17
8.4几个最简单的同痕不变量
习题18
8.5琼斯的多项式不变量
习题19
8.6 纽结和链环的两种运算——拼与和
习题20
8.7本章结束语
习题解答／202
1.1从欧几里得几何学到拓扑学
1.2连续性
习题1
1.3几个最简单的拓扑不变量
1.3.1连通性及连通支的个数
1.3.2 割点的个数
1.3.3 点的指数
习题2
第2章多面体的欧拉公式／16
2.1简单多面体
2.2欧拉公式的几种证法
2.2.1 勒让德的证明
2.2.2 笛卡儿手稿中给出的证明
2.2.3 利用网络证明
习题3
附录1欧拉公式的发现
《欧拉公式的发现》读后感
2.3欧拉公式的一个应用
2.3.1 有关平面图的一些基本概念
2.3.2 两个最简单的不可平面图
习题4
2.4五种正多面体
2.4.1 正多面体只有五种
2.4.2 正多面体的一个有趣的性质
2.4.3 正多面体在四维空间的推广
习题5
2.5正十二面体的哈密尔顿问题
习题6
第3章七桥问题与地图着色问题／57
3.1 哥尼斯堡七桥问题与一笔画
习题7
附录2哥尼斯堡的七座桥
《哥尼斯堡的七座桥》读后感
3.2一笔画的一个应用
习题8
3.3五色定理和四色问题
3.3.1 关于四色问题
3.3.2五色定理的证明
习题9
第4章几个拓扑定理／82
4.1约当曲线定理
习题10
4.2布劳威尔不动点定理
习题11
4.3代数基本定理
习题12
第5章曲面／101
5.1.射影平面的模型和莫比乌斯带
5.1.1 射影平面的几个模型
5.1.2 射影平面和莫比乌斯带的关系
5.1.3 莫比乌斯带奇趣
5.2 曲面及其多边形表示
5.2.1 曲面的概念
5.2.2 曲面的多边形表示
习题13
5.3 曲面的欧拉示性数
5.3.1 曲面的欧拉示性数
5.3.2 曲面的三角剖分
5.3.3 闭曲面的拓扑分类
习题14
附录3 闭曲面拓扑分类的一个证明
第6章基本群和同调群的直观描述／133
6.1 引 言
6.2道路的同伦类
6.3基本群
习题15
6.4同调群的直观描述
6.5 闭链、边缘链和同调群
习题16
第7章初等突变理论简介／155
7.1初等突变理论及其模型
7.2初等突变理论的应用举例
附录4 突变模型在汉字识别上的应用尝试
第8章漫话纽结和链环／174
8.1 引言——一个线绳魔术
8.2纽结和链环
8.3 判断两个纽结相同（同痕）
习题17
8.4几个最简单的同痕不变量
习题18
8.5琼斯的多项式不变量
习题19
8.6 纽结和链环的两种运算——拼与和
习题20
8.7本章结束语
习题解答／202
直观拓扑
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