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第1章　函数、图像和直线　1　

1.1　函数　1　

1.1.1　区间表示法　3　

1.1.2　求定义域　3　

1.1.3　利用图像求值域　4　

1.1.4　垂线检验　5　

1.2　反函数　6　

1.2.1　水平线检验　7　

1.2.2　求逆　8　

1.2.3　限制定义域　8　

1.2.4　反函数的反函数　9　

1.3　函数的复合　10　

1.4　奇函数和偶函数　12　

1.5　线性函数的图像　14　

1.6　常见函数及其图像　16　

第2章　三角学回顾　21　

2.1　基本知识　21　

2.2　三角函数定义域的扩展　23　

2.2.1　astc方法　25　

2.2.2　[0，2π]以外的三角函数　27　

.2.3　三角函数的图像　29　

2.4　三角恒等式　32　

第3章　极限导论　34　

3.1　极限：基本思想　34　

3.2　左极限与右极限　36　

3.3　何时不存在极限　37　

3.4　在∞和-∞处的极限　38　

3.5　关于渐近线的两个常见错误认知　41　

3.6　三明治定理　43　

3.7　极限的基本类型小结　45　

第4章　如何求解涉及多项式的极限问题　47　

4.1　包含当x→a时的有理函数的极限　47　

4.2　当x→a时的涉及平方根的极限　50　

4.3　当x→∞时涉及的有理函数的极限　51　

4.4　当x→∞时的多项式型函数的极限　56　

4.5　当x→-∞时的有理函数的极限　59　

4.6　包含绝对值的极限　61　

第5章　连续性和可导性　63　

5.1　连续性　63　

5.1.1　在一点处连续　63　

5.1.2　在一个区间上连续　64　

5.1.3　连续函数的例子　65　

5.1.4　介值定理　67　

5.1.5　一个更难的ivt例子　69　

5.1.6　连续函数的最大值和最小值　70　

5.2　可导性　71　

5.2.1　平均速率　71　

5.2.2　位移和速度　72　

5.2.3　瞬时速度　73　

5.2.4　速度的图像解释　74　

5.2.5　切线　75　

5.2.6　导函数　76　

5.2.7　作为极限比的导数.78　

5.2.8　线性函数的导数　80　

5.2.9　二阶导数和更高阶导数　80　

5.2.10　导数何时不存在　81　

5.2.11　可导性和连续性　82　

第6章　如何求解微分问题　84　

6.1　使用定义求导　84　

6.2　求导(好方法)　87　

6.2.1　函数的常数倍　88　

6.2.2　函数和与函数差　88　

6.2.3　通过乘积法则求积函数的导数　88　

6.2.4　通过商法则求商函数的导数　90　

6.2.5　通过链式求导法则求复合函数的导数　91　

6.2.6　一个令人讨厌的例子　94　

6.2.7　乘积法则和链式求导法则的理由　96　

6.3　求切线方程　98　

6.4　速度和加速度　99　

6.5　导数伪装的极限　102　

6.6　分段函数的导数　104　

6.7　直接画出导函数的图像　107　

第7章　三角函数的极限和导数　111　

7.1　涉及三角函数的极限　111　

7.1.1　小数情况　111　

7.1.2　问题的求解——小数的情况　113　

7.1.3　大数的情况　117　

7.1.4　“其他的”情况　120　

7.1.5　一个重要极限的证明　121　

7.2　涉及三角函数的导数　124　

7.2.1　求三角函数导数的例子　127　

7.2.2　简谐运动　128　

7.2.3　一个好奇的函数　129　

第8章　隐函数求导和相关变化率　132　

8.1　隐函数求导　132　

8.1.1　技巧和例子　133　

8.1.2　隐函数求二阶导　137　

8.2　相关变化率　138　

8.2.1　一个简单的例子　140　

8.2.2　一个稍难的例子　141　

8.2.3　一个更难的例子　142　

8.2.4　一个非常难的例子　144　

第9章　指数函数和对数函数　148　

9.1　基础知识　148　

9.1.1　指数函数的回顾　148　

9.1.2　对数函数的回顾　149　

9.1.3　对数函数、指数函数及反函数　150　

9.1.4　对数法则　151　

9.2　e的定义　153　

9.2.1　一个有关复利的例子　153　

9.2.2　我们的问题的答案　154　

9.2.3　关于e和对数函数的更多内容　156　

9.3　对数函数和指数函数求导　158　

9.4　如何求解涉及指数函数和对数函数的极限　161　

9.4.1　涉及e的定义的极限　161　

9.4.2　指数函数在0附近的行为　162　

9.4.3　对数函数在1附近的行为　164　

9.4.4　指数函数在∞或-∞附近的行为　165　

9.4.5　对数函数在∞附近的行为　167　

9.4.6　对数函数在0附近的行为　169　

9.5　对数函数求导　170　

9.6　指数的增长和衰退　174　

9.6.1　指数增长　175　

9.6.2　指数衰退　176　

9.7　双曲函数　178　

第10章　反函数和反三角函数　182　

10.1　导数和反函数　182

10.1.1　使用导数证明反函数存在　182　

10.1.2　导数和反函数：可能出现的问题　183　

10.1.3　求反函数的导数　184　

10.1.4　一个重要的例子　186　

10.2　反三角函数　188　

10.2.1　反正弦函数　188　

10.2.2　反余弦函数　191　

10.2.3　反正切函数　193　

10.2.4　反正割函数　195　

10.2.5　反余割函数及反余切函数　196　

10.2.6　计算反三角函数　197　

10.3　反双曲函数　199　

第11章　导数和图像　203　

11.1　函数的极值问题　203　

11.1.1　全局极值和局部极值　203　

11.1.2　极值定理　204　

11.1.3　怎样求全局最大值和全局最小值　205　

11.2　罗尔定理　208　

11.3　中值定理　210　

11.4　二次导数及图像　213　

11.5　对于导数为零点的分类　215　

11.5.1　一次导数的应用　216　

11.5.2　二阶导数的应用　217　

第12章　如何绘制函数图像　220　

12.1　怎样建立符号表格　220　

12.1.1　制作一次导数的符号表格　222　

12.1.2　制作二次导数的表格　223　

12.2　绘制函数图像的完全方法　225　

12.3　例题　226　

12.3.1　一个不使用导数的例子　226　

12.3.2　使用完全方法绘制函数图像：例1　229　

12.3.3　例2　230　

12.3.4　例3　233　

12.3.5　例4　236　

第13章　最优化和线性化　240　

13.1　最优化问题　240　

13.1.1　一个简单的最优化例子　240　

13.1.2　最优化问题：通常的方法　241　

13.1.3　一个最优化的例子　242　

13.1.4　另一个最优化的例子　244　

13.1.5　在最优化问题中使用隐函数的求导方法　247　

13.1.6　一个较难的最优化例题　247　

13.2　线性化　250　

13.2.1　线性化的归纳　251　

13.2.2　微分　253　

13.2.3　线性化的总结和例子　255　

13.2.4　在我们估算过程中的误差　256　

13.3　牛顿方法　258　

第14章　洛必达法则及极限问题综述　264　

14.1　洛必达法则　264　

14.1.1　类型a：0/0　264　

14.1.2　类型a：±∞/±∞　267　

14.1.3　类型b1(∞-∞)　268　

14.1.4　类型b2(0×±∞)　270　

14.1.5　类型c(1±∞, 00或∞0)　271　

14.1.6　洛必达法则类型的总结　273　

14.2　关于极限的总结　274

第15章　积分　277　

15.1　求和符号　277　

15.1.1　一个有用的求和　280　

15.1.2　伸缩求和法　281　

15.2　位移和面积　284　

15.2.1　三个简单的例子　284　

15.2.2　一段更常规的旅行　286　

15.2.3　有正负的面积　288　

15.2.4　连续的速度　289　

15.2.5　两个特别的估算　292　

第16章　定积分　295　

16.1　基本思想　295　

16.2　定积分的定义　299　

16.3　定积分的特性　303　

16.4　求面积　307　

16.4.1　求非代数和面积　308　

16.4.2　求解两条曲线之间的面积　310　

16.4.3　求曲线与y轴所围成的面积　312　

16.5　估算积分　315　

16.6　积分的平均值和中值定理　318　

16.7　不可积的函数　321　

第17章　微积分基本定理　323　

17.1　以其他函数为积分的函数　323　

17.2　微积分的第一基本定理　326　

17.3　微积分的第二基本定理　330　

17.4　不定积分　331　

17.5　怎样解决问题：微积分第一基本定理　333　

17.5.1　变形1：变量是积分下限　334　

17.5.2　变形2：积分上限是一个函数　334　

17.5.3　变形3：积分上下限都为函数　336　

17.5.4　变形4：极限伪装成导数　337　

17.6　怎样解决问题：微积分第二基本定理　337　

17.6.1　计算不定积分　338　

17.6.2　计算定积分　340　

17.6.3　非代数和面积和绝对值　343　

17.7　技术上的观点　346　

17.8　微积分第一基本定理的证明　347　

第18章　积分的方法：第一部分　349　

18.1　替代法　349　

18.1.1　换元法和定积分　352　

18.1.2　怎样决定替代公式　355　

18.1.3　换元法的理论解释　357　

18.2　分部积分法　358　

18.3　部分分式　363　

18.3.1　部分分式的代数运算　363　

18.3.2　对每一部分积分　367　

18.3.3　方法和一个完整的例子　369　

第19章　积分的方法：第二部分　374　

19.1　应用三角函数公式的积分　374　

19.2　关于三角函数的幂的积分　377　

19.2.1　sin或cos的幂　377　

19.2.2　tan的幂　379　

19.2.3　sec的幂　380　

19.2.4　cot的幂　382　

19.2.5　csc的幂　383　

19.2.6　递归公式　383　

19.3　关于三角换元法的积分　385　

19.3.1　类型1：？a2-x2　385　

19.3.2　类型2：？x2+a2　387

19.3.3　类型3：？x2-a2　388　

19.3.4　配方和三角换元法　389　

19.3.5　关于三角换元法的总结　390　

19.3.6　平方根的方法和三角换元法　390　

19.4　积分技巧综述　392　

第20章　反常积分：基本概念　394　

20.1　收敛和发散　394　

20.1.1　关于反常积分的一些例子　396　

20.1.2　其他的破裂点　398　

20.2　关于无穷区间的积分　399　

20.3　比较判别法(理论)　401　

20.4　极限比较判别法(理论)　403　

20.4.1　函数互为渐近线　403　

20.4.2　关于判别法的陈述　405　

20.5　p判别法(理论)　406　

20.6　绝对收敛判别法　408　

第21章　反常积分：如何解题　411　

21.1　如何开始　411　

21.1.1　拆分积分　411　

21.1.2　如何处理负函数值　412　

21.2　积分判别法总结　414　

21.3　∞和-∞附近的常见函数　415　

21.3.1　∞和-∞附近的多项式和多项式型函数　416　

21.3.2　∞和-∞附近的三角函数　418　

21.3.3　∞和-∞附近的　指数　420　

21.3.4　∞附近的对数　423　

21.4　常见函数在0附近的情形　427　

21.4.1　0附近的多项式和多项式型函数　427　

21.4.2　0附近的三角函数　428　

21.4.3　0附近的指数函数　429　

21.4.4　0附近的对数函数　431　

21.4.5　0附近的更一般函数　432　

21.5　如何应对不在0或∞处的瑕点　433　

第22章　数列和级数：基本概念　435　

22.1　数列的收敛和发散　435　

22.1.1　数列和函数的联系　436　

22.1.2　两个重要数列　438　

22.2　级数的收敛与发散　439　

22.3　第n项判别法(理论)　443　

22.4　无穷级数和反常积分的性质　444　

22.4.1　比较判别法(理论)　444　

22.4.2　极限比较判别法(理论)　445　

22.4.3　p判别法(理论)　446　

22.4.4　绝对收敛判别法　447　

22.5　级数的新判别法　448　

22.5.1　比式判别法(理论)　448　

22.5.2　根式判别法(理论)　450　

22.5.3　积分判别法(理论)　451　

22.5.4　交错级数判别法(理论)　454　

第23章　如何求解级数问题　457　

23.1　如何求几何级数的值　457　

23.2　如何应用第n项判别法　459　

23.3　如何应用比式判别法　460　

23.4　如何应用根式判别法　463　

23.5　如何应用积分判别法　464　

23.6　如何应用比较判别法、极限比较判别法和p判别法　466　

23.7　如何应对含负项的级数　470　

第24章　泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论　475　

24.1　近似值和泰勒多项式　475　

24.1.1　重访线性化　476　

24.1.2　二次近似　476　

24.1.3　高阶近似　477　

24.1.4　泰勒定理　478　

24.2　幂级数和泰勒级数　481　

24.2.1　一般幂级数　482　

24.2.2　泰勒级数和麦克劳林级数　484　

24.2.3　泰勒级数的收敛性　485

24.3　一个重要极限　488　

第25章　如何求解估算问题　490　

25.1　泰勒多项式与泰勒级数总结　490　

25.2　求泰勒多项式与泰勒级数　491　

25.3　用误差项估算问题　494　

25.3.1　第一个例子　495　

25.3.2　第二个例子　497　

25.3.3　第三个例子　498　

25.3.4　第四个例子　499　

25.3.5　第五个例子　501　

25.3.6　误差项估算的一般方法　502　

25.4　误差估算的另一种方法　502　

第26章　泰勒级数和幂级数：如何解题　505　

26.1　幂级数的收敛性　505　

26.1.1　收敛半径　505　

26.1.2　如何求收敛半径和收敛区域　507　

26.2　由旧泰勒级数求新泰勒级数　511　

26.2.1　代换和泰勒级数　512　

26.2.2　泰勒级数求导　514　

26.2.3　泰勒级数求积分　515　

26.2.4　泰勒级数相加和相减　517　

26.2.5　泰勒级数相乘　518　

26.2.6　泰勒级数相除　519　

26.3　利用幂级数和泰勒级数求导　520　

26.4　利用麦克劳林级数求极限　522　

第27章　参数方程和极坐标　526　

27.1　参数方程　526　

27.2　极坐标　531　

27.2.1　极坐标与笛卡儿坐标互换　532　

27.2.2　极坐标系中画曲线　534　

27.2.3　求极坐标曲线的切线　537　

27.2.4　求极坐标曲线围成的面积　538　

第28章　复数　541　

28.1　基础　541　

28.2　复平面　544　

28.3　复数的高次幂　547　

28.4　解zn=w　548　

28.5　解ez=w　553　

28.6　一些三角级数　555　

28.7　欧拉等式和幂级数　557　

第29章　体积、弧长和表面积　559　

29.1　旋转体的体积　559　

29.1.1　圆盘法　560　

29.1.2　壳法　561　

29.1.3　总结和变式　563　

29.1.4　变式1：区域在曲线和y轴之间　563　

29.1.5　变式2：两曲线间的区域　565　

29.1.6　变式3：绕平行于坐标轴的轴旋转　567　

29.2　一般固体体积　569　

29.3　弧长　573　

29.4　旋转体的表面积　577　

第30章　微分方程　581　

30.1　微分方程导论　581　

30.2　可分离变量的一阶微分方程　582　

30.3　一阶线性方程　584　

30.4　常系数微分方程　588　

30.4.1　解一阶齐次方程　589　

30.4.2　解二阶齐次方程　589　

30.4.3　为什么特征二次方程适用　590　

30.4.4　非齐次方程和特解　591　

30.4.5　求特解　592

30.4.6　求特解的例子　593　

30.4.7　解决yp和yh间的冲突　596　

30.4.8　ivp　596　

30.5　微分方程建模　598　

附录a　极限及其证明　601　

a.1　极限的正式定义　601　

a.1.1　小游戏　601　

a.1.2　真正的定义　603　

a.1.3　应用定义的例子　604　

a.2　由原极限产生新极限　605　

a.2.1　极限的和与差及证明　605　

a.2.2　极限的乘积及证明　606　

a.2.3　极限的商及证明　607　

a.2.4　三明治定理及证明　609　

a.3　极限的其他情形　609　

a.3.1　无穷极限　610　

a.3.2　左极限与右极限　611　

a.3.3　在∞及-∞处的极限　611　

a.3.4　两个涉及三角函数的例子　613　

a.4　连续与极限　615　

a.4.1　连续函数的复合　615　

a.4.2　介值定理的证明　617　

a.4.3　最大-最小定理的证明　618　

a.5　重返指数函数和对数函数　619　

a.6　微分与极限　621　

a.6.1　函数的常数倍　622　

a.6.2　函数的和与差　622　

a.6.3　乘积法则的证明　622　

a.6.4　商法则的证明　623　

a.6.5　链式求导法则的证明　624　

a.6.6　极值定理的证明　624　

a.6.7　罗尔定理的证明　625　

a.6.8　中值定理的证明　625　

a.6.9　线性化的误差　626　

a.6.10　分段函数的导数　627　

a.6.11　洛必达法则的证明　628　

a.7　泰勒近似定理的证明　630　

附录b　估算积分　633　

b.1　使用条纹估算积分　633　

b.2　梯形法则　636　

b.3　辛普森法则　638　

b.4　近似的误差　640　

b.4.1　估算误差的例子　641　

b.4.2　误差项不等式的证明　642　

符号列表　644　

索引　647