高等数学

第1章　空间解析几何……………………………………………………………………… 1
1.1　空间直角坐标系………………………………………………………………… 1
1.1.1　空间直角坐标系………………………………………………………… 1
1.1.2　空间中的点坐标………………………………………………………… 2
1.1.3　空间中两点间的距离…………………………………………………… 2
1.2　曲面及其方程…………………………………………………………………… 4
1.2.1　平面及其方程…………………………………………………………… 4
1.2.2　曲面及其方程…………………………………………………………… 5
第2章　多元函数的微分及其应用……………………………………………………… 12
2.1　多元函数的基本概念…………………………………………………………… 12
2.1.1　点集和邻域…………………………………………………………… 12
2.1.2　多元函数的概念……………………………………………………… 13
2.1.3　多元函数的极限……………………………………………………… 13
2.1.4　多元函数的连续性…………………………………………………… 15
2.2　偏导数…………………………………………………………………………… 17
2.2.1　偏导数的定义及其计算……………………………………………… 17
2.2.2　高阶偏导数…………………………………………………………… 20
2.3　全微分…………………………………………………………………………… 22
2.3.1　全微分的定义及计算………………………………………………… 22
2.3.2　全微分在近似计算中的应用………………………………………… 26
2.4　多元复合函数的求导法则……………………………………………………… 27
2.4.1　复合函数的中间变量均为一元函数的情形………………………… 27
2.4.2　复合函数的中间变量均为多元函数的情形………………………… 28
2.4.3　复合函数的中间变量既有一元函数,又有多元函数的情形………… 28
2.4.4　复合函数的某些中间变量本身又是复合函数的自变量的情形…… 29
2.5　隐函数的求导公式……………………………………………………………… 30
2.6　多元函数的极值及其求法……………………………………………………… 33
2.6.1　多元函数的极值……………………………………………………… 33
2.6.2　条件极值　拉格朗日乘数法………………………………………… 35
2.6.3　函数的最大值和最小值……………………………………………… 36
第3章　重积分…………………………………………………………………………… 38
3.1　二重积分………………………………………………………………………… 38
3.1.1　二重积分的概念……………………………………………………… 38
3.1.2　二重积分的性质……………………………………………………… 41
3.2　二重积分的计算………………………………………………………………… 43
3.2.1　利用直角坐标计算二重积分………………………………………… 43
3.2.2　利用极坐标计算二重积分…………………………………………… 48
3.3　二重积分的应用………………………………………………………………… 53
3.3.1　立体体积……………………………………………………………… 53
3.3.2　平面图形的面积……………………………………………………… 54
3.3.3　曲面的面积…………………………………………………………… 55
?3.3.4　质心………………………………………………………………… 56
?3.3.5　转动惯量…………………………………………………………… 57
3.4　三重积分………………………………………………………………………… 59
3.4.1　三重积分的概念与性质……………………………………………… 59
3.4.2　三重积分的计算……………………………………………………… 59
第4章　级数……………………………………………………………………………… 65
4.1　常数项级数的概念与性质……………………………………………………… 65
4.1.1　常数项级数的概念…………………………………………………… 65
4.1.2　常数项级数的基本性质……………………………………………… 67
4.2　常数项级数的审敛法…………………………………………………………… 71
4.2.1　正项级数及其审敛法………………………………………………… 71
4.2.2　交错级数及其审敛法………………………………………………… 76
4.2.3　绝对收敛与条件收敛………………………………………………… 78
4.3　幂级数…………………………………………………………………………… 79
4.3.1　函数项级数的概念…………………………………………………… 79
4.3.2　幂级数及其收敛性…………………………………………………… 80
4.3.3　幂级数的运算及性质………………………………………………… 83
4.4　函数展开成幂函数……………………………………………………………… 86
4.4.1　泰勒级数……………………………………………………………… 86
4.4.2　初等函数的幂级数展开……………………………………………… 88
第5章　常微分方程与差分方程………………………………………………………… 93
5.1　微分方程的基本概念…………………………………………………………… 93
5.2　可变量分离的微分方程………………………………………………………… 96
5.2.1　可分离变量的微分方程……………………………………………… 96
5.2.2　齐次微分方程………………………………………………………… 98
?5.2.3　可化为齐次方程的微分方程……………………………………… 100
5.3　一阶线性微分方程…………………………………………………………… 102
5.3.1　一阶线性微分方程…………………………………………………… 102
5.3.2　伯努利方程…………………………………………………………… 106
5.4　可降阶的高阶微分方程……………………………………………………… 107
5.4.1　y(n)=f(x)型的微分方程…………………………………………… 107
5.4.2　y″=f(x,y′)型的微分方程………………………………………… 108
5.4.3　y″=f(y,y′)型的微分方程………………………………………… 109
5.5　线性微分方程解的结构……………………………………………………… 110
5.5.1　二阶齐次线性微分方程解的结构…………………………………… 111
5.5.2　二阶非齐次线性微分方程解的结构………………………………… 112
5.6　二阶常系数线性微分方程…………………………………………………… 114
5.6.1　二阶常系数齐次线性微分方程……………………………………… 115
5.6.2　二阶常系数非齐次线性微分方程…………………………………… 117
5.7　差分方程……………………………………………………………………… 123
5.7.1　差分的概念…………………………………………………………… 123
5.7.2　差分方程的概念……………………………………………………… 124
5.7.3　线性差分方程解的基本定理………………………………………… 125
5.7.4　一阶常系数线性差分方程…………………………………………… 126
习题答案与提示…………………………………………………………………………… 130
参考文献…………………………………………………………………………………… 140