有限元高精度后处理理论

目录
代序
前言
第一篇 概论
第一章 预备知识
1.1 记号和Sobolev空间
1.1.1 常用的记号
1.1. 2Sobolev空间
1.2 Sobolev空间的几个基本定理
1.3 有限元空间和函数插值
1.3.1 区域剖分和有限元空间
1.3.2 Lagrange插值及展开
1.3.3 ω元、投影型插值和有限元空间V〓(Ω)
1.4 基本模型问题和分片Sobolev空间
1.4.1 基本模型和Lax-Milgram定理
1.4.2 有限元逼近(Galerkin遢近)
1.4.3 分片Sobolev空间
1.5 Green函数和离散Green函数
1.5.1 Green函数和离散Green函数及一些已有结果
1.5.2 Green函数Galerkin逼近的逐点估计
1.6 逼近误差的阶的一个等价定义方法
1.6.1 经典有限元超收敛理论的一个悖论
1.6.2 研究超收敛理论应当怎样定义误差的阶?
1.6.3 广义误差阶的几个性质
第二章 超收敛理论的基本框架(兼论一维有限元问题的高精度后处理)
2.1 Legendre多项式与ω多项式(Lobatto多项式)
2.1.1 定义
2.1.2 若干性质
2.1.3 分数次空间H〓
2.2 一维投影型插值
2.2.1 定义
2.2.2 p次投影型插值〓的逼近性质
2.3 一维ω元和广义误差阶的定义
2.3.1 一维ω元的定义
2.3.2 误差阶的新定义
2.3.3 计算误差阶的实例
2.4 一维两点边值问题的有限元逼近的误差估计
2.4.1 几个引理
2.4.2 一个等价估计
2.5 Green函数与有限元的逐点误差估计
2.5.1 Green函数及其性质
2.5.2 一个超逼近结果
2.5.3 有限元的逐点估计和超收敛估计
2.5.4 Green函数有限元逼近的若干估计
2.6 两个基本估计、一致超逼近和逐点超收敛性
2.6.1 基本估计
2.6.2 局部一致超逼近
2.6.3 天然的超收敛点
2.7 插值后处理(对k=1的情形)
2.7.1 一个引理
2.7.2 单元片及插值处理算子
2.7.3 超收敛插值处理
2.8 超收敛SPR处理
2.8.1 基本概念
2.8.2 主要定理
2.9 一个整体的校正结果
2.10 后验误差估计
2.11 一个最佳校正结果
2.11.1 问题描述和精确有限元
2.11.2 插值的正交修正
2.11.3 节点恢复导数的构造
2.11.4 主要定理及其证明
第二篇 插值误差的弱估计和超逼近估计
第三章 高次矩形元的插值误差的弱估计和超逼近估计
3.1 空间H(e)和投影型插值
3.1.1 空间H(e)及其函数的展开
3.1.2 指标集和投影型插值
3.1.3 有限元空间V〓(Ω)及投影型插值
3.1.4 空间H(Ω)
3.2 矩形元及投影型插值误差估计
3.2.1 矩形元的定义
3.2.2 误差阶的新定义
3.2.3 插值误差的基本估计
3.2.4 插值导数误差的估计
3.2.5 有限元空间中的一个估计
3.3 有限元解的一个平均超逼近估计
3.4 〓型投影型插值误差的基本弱估计
3.4.1 指标集和Q〓型投影型插值的某些性质
3.4.2 常系数问题的基本弱估计
3.5 强基本估计
3.5.1 单元片和单元片上的一个引理
3.5.2 强基本估计的证明
3.6 变系数问题的基本弱估计
3.7 最大模超逼近、强超逼近和天然超收敛性
3.7.1 最大模超逼近
3.7.2 天然的超收敛性
第四章 双线性元的超收敛性和外推
4.1 引言:一个新估计方法
4.2 双线性插值误差的几个积分估计
4.2.1 〓〓(u-〓)〓vdxdy
4.2.2 〓〓(u-〓)〓vdxdy
4.2.3 〓〓(u-〓)vdxdy和〓〓(u-〓)vdxdy
4.3 变系数问题及其他
4.3.1 变系数问题
4.3.2 一般二阶椭圆问题和双线性元的第一基本估计
4.3.3 一般光滑区域和几乎一致剖分
4.3.4 超逼近和超收敛性
4.4 基本展开式和有限元外推
4.4.1 林氏积分恒等式
4.4.2 在u∈H(Ω)条件下的展开式
4.4.3 在u∈H(Ω)条件下的外推结果
4.4.4 一点注释
4.5 一般四边形元的新估计方法
4.5.1 凸四边形单元分析
4.5.2 一般网格上的超收敛问题
4.6 补充:奇妙族矩形元上的展开问题
4.6.1 几个基本展开式
4.6.2 一般变系数问题的基本展开
4.6.3 超逼近和超收敛性
第五章 高次三角形元中的几个问题
5.1 三角形元上的函数展开
5.1.1 点态插值和边界函数空间〓(〓)
5.1.2 边上的投影型插值及其延拓
5.1.3 权函数空间〓(e)和函数的基本展开
5.2 三角元上的〓型投影型插值及其基本估计
5.2.1 投影型插值及其性质
5.2.2 投影型插值的误差估计
5.3 〓和〓型插值误差的基本弱估计
5.3.1 误差阶的定义
5.3.2 一个单元上的弱估计
5.3.3 单元片上的弱估计
5.3.4 〓型三角元的超逼近问题
5.4 〓(v≥1)型插值误差的超收敛弱估计问题讨论
5.4.1 余项的估计
5.4.2 单元分析
5.4.3 离散Green函数的一个特殊性质
5.4.4 主项的估计—单元合并技术
第三篇 有限元超收敛后处理理论
第六章 离散Green函数和局部对称处理技巧
6. 1Green函数——局部对称的处理法
6.1.1 准Green函数Galerkin逼近的几个估计
6.1.2 局部对称点
6.1.3 局部处理技巧
6.1.4 u关于z对称的情形
6.1.5 对称处理技巧
6.2 离散Green函数的逐点估计
6.2.1 离散δ函数及估计
6.2.2 权范数及估计
6.2.3 高阶离散Green函数及估计
6.2.4 Green函数Galerkin逼近的逐点估计
6.2.5 角域上Green函数Galerkin逼近的某些估计
6.3 二次三角形元的强超逼近
6.3.1 主要定理及证明
6.4 高次〓型三角形元和〓型矩形元的超逼近问题
6.4.1 带权〓
6.4.2 一个引理
6.4.3 〓型元问题
6.4.4 奇妙族矩形元即〓型元问题
6.5 〓(v≥1)型三角元和〓(v≥1)型矩形元的超逼近
6.5.1 整体超逼近估计
6.5.2 超逼近性的直接证明
6.5.3 对〓型矩形元超逼近的进一步讨论
6.5.4 〓型元讨论
6.5.5 在角上的超逼近估计
6.6 国外的局部对称处理理论简介
6.6.1 一个精细的内估计结果
6.6.2 两个超收敛结果
6.6.3 一个利用Green函数的证明方法
第七章 超收敛后处理基本理论
7.1 超逼近和天然的超收敛性
7.1.1 超逼近性质
7.1.2 天然超收敛性
7.1.3 超逼近点集和超收敛点集示意图
7.2 单元片导数恢复算子和基本定理
7.2.1 单元片导数恢复算子的定义
7.2.2 Z-Z算子
7.2.3 林氏插值处理算子
7.2.4 磨光处理算子
7.2.5 单元片导数恢复算子超收敛基本定理
7.3 插值的恢复导数及恢复导数佳点
7.3.1 Z-Z算子处理的佳点
7.3.2 林氏插值处理的佳点
7.4 Z-Z算法的超收敛性分析
7.4.1 Z-Z处理的超收敛性
7.4.2 二次三角元的强超收敛后处理结果
7.4.3 高次三角元和奇妙族矩形元的天然超收敛性
7.5 Z-Z算法的强超收敛性处理
附录样本点的选取
7.6 Z-Z算法的强超收敛性处理的进一步探讨
7.6.1 一个引理
7.6.2 主要定理
7.6.3 样本集选择表
7.7 林氏插值处理法简介
7.7.1 第一型插值处理
7.7.2 第二型插值处理
第八章 调和方程边值问题的一类高效算法
8.1 调和方程边值问题的Monte-Carlo概率算法
8.1.1 概率转移矩阵
8.1.2 齐次椭圆边值问题和极限转移阵〓
8.1.3 求解非齐次椭圆边值问题的方法
8.1.4 计算〓和〓的Monte-Carlo法
8.2 调和方程边值问题的概率算法
8.2.1 调和方程边值问题和概率转移矩阵
8.2.2 圆上的转移矩阵
8.2.3 一般区域的概率转移矩阵
8.2.4 误差的超收敛估计
8.2.5 数例分析
8.3 二维配置算法的超收敛性
8.3.1 解边值问题的延拓思想
8.3.2 边值问题的配置算法及其逐点强超收敛性
8.3.3 数值实例
第四篇 多维超收敛理论和后验误差估计方法
第九章 多维离散Green函数理论
9.1 Galerkin投影和离散Green函数
9.1.1 Galerkin投影
9.1.2 离散Green函数
9.2 离散δ函数和L2投影
9.2.1 离散δ函数
9.2.2 L2投影
9.3 准Green函数及其L2估计
9.4 权范数及其性质.
9.5 准Green函数的权范数估计及其他估计
9.6 准Green函数的Galerkin逼近及有限元的〓估计
9.7 导数准Green函数〓及其Galerkin逼近
9.7.1 导数准Green函数〓的性质及权范数估计
9.7.2 〓的Galerkin逼近及其估计
附录d=3时〓的〓半范估计
第十章 三维问题的超逼近和超收敛性
10.1 三元函数在长方体单元的展开和三维投影型插值算子
10.2 三维投影型插值算子的等价构作方法
10.3 三维ω元和基本空间
10.4 张量积长方体有限元的超逼近
10.4.1 三m次长方体有限元的弱估计
10.4.2 三m次长方体有限元的最大模超逼近
10.5 奇妙族长方体有限元的超逼近
10.5.1 二次奇妙族长方体有限元的最大模超逼近
10.5.2 三次奇妙族长方体有限元的最大模超逼近
10.6 弱估计的另一种证明方法
第十一章 有限元算法
11.1 Legendre和Lobatto多项式表
11.1.1 Legendre多项式表
11.1.2 ω函数表
11.2 有限元算法
11.2.1 一维单元分析
11.2.2 二维矩形ω元分析
11.2.3 二维三角形ω元分析
11.2.4 三维长方体ω元分析
11.3 Lagrange算法和ω算法比较
11.3.1 Lagrange基函数
11.3.2 一维算法实例分析
11.4 二维有限元计算实例分析
11.5 三维有限元计算实例分析
11.5.1 (Ⅰ)型问题计算结果分析
11.5.2 (Ⅱ)型问题计算结果分析
11.5.3 (Ⅲ)型奇性问题计算结果分析
11.5.4 三维奇性解的超收敛分析
11.6 一般区域的处理
第十二章 后验误差估计和超收敛
12.1 引言
12.2 基于残值的后验误差估计简介
12.2.1 基本概念
12.2.2 一个简单的后验误差估计
12.2.3 泡泡函数
12.2.4 残数的一个估计
12.2.5 误差的两边估计
12.3 基于超收敛后处理的后验误差估计:一维问题
12.3.1 模型问题
12.3.2 Z-Z提出的一个估计方法
12.3.3 两类后验误差估计因子
12.3.4 第三类后验误差估计因子
12.3.5 几类后验误差估计因子的有效指标分析
12.4 基于超收敛后处理的后验误差估计:二维一次元问题
12.4.1 基本思想
12.4.2 一次元后验误差估计因子的直接构作法
12.5 单元片应力超收敛后处理技巧
12.5.1 Z-ZSPR处理技巧
12.5.2 多维一次元的SPR处理和后验误差估计因子
12.5.3 二次三角元的SPR处理和后验误差估计因子
12.5.4 一般元的SPR处理和后验误差估计因子
12.6 自适应过程探讨
12.6.1 Z-Z的h-p自适应过程
12.6.2 一种新的构思—h-l-p自适应过程
12.6.3 单元边上的后验误差估计
12.6.4 p细分过程的实现
参考文献
检索
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