数学悖论与三次数学危机

通过我国清朝著名数学家梅文鼎(1633～1721)的几段话，我们可以进一 步体会这一点。在其第一部数学著作《方程论》中他写道：“数学一也，分 之则有度有数；度者量法，数者算术，是两者皆由浅入深。是故量法最浅者 方田，稍进为少广，为商功，而极于勾股。”其中的量法指的是几何学。这 段话强调了直角三角形的有关性质和算法在中国式几何学中的位置。在《几 何通解》中他又写道：“几何不言勾股，然其理并勾股也。故其最难通者， 以勾股释之则明。……信古《九章》之义，包举无方。”又在《勾股举隅》 中说：“勾股之用，于是乎神。言测量至西术详矣。究不能外勾股以立算， 故三角即勾股之变通，八线乃勾股之立成也。”当西方几何学传人后，梅文 鼎错误地认为西方几何学，无非就是中国的勾股数学，没有什么新鲜的东西 。但如他所指出的，要想搞清中国古代几何学的原貌，就得从勾股定理及勾 股形的有关性质谈起，这是不错的。 当然，勾股定理不仅仅对中国传统数学如此重要。实际上，勾股定理与 它的推论、推广除在现实世界中有着广泛的应用外，还在数学理论的发展中 发挥着极其重要的作用。 在平面几何中，这个美妙、著名且有用的定理像一颗明珠，光彩夺目。 天文学家开普勒曾把它喻为几何定理中的“黄金”，应该说勾股定理实在是 受之无愧的!不仅如此，更重要的是，勾股定理作为一条十分重要而又很著 名的数学基本定理，还深人到数学的许多分支中，数学中的许多数学公式和 命题都是由它推导出来或是建立在它的基础之上的。 可以说，在数学上，勾股定理曾经是并且至今仍是贯穿许多数学领域的 一个不可缺少的工具。如果要举一条数学中最重要的定理，恐怕非他莫属。 以下趣闻可为佐证。 1955年希腊为了纪念2500年前古希腊在勾股定理上的贡献，发行了一张 邮票，图案由三个棋盘排列而成。 1971年，尼加拉瓜政府发行了名为世界上“最重要的10个数学公式”的 一套邮票，各枚邮票的插图上都印有选定的公式，邮票的背面简略说明了该 公式的重要性。这套邮票中第二张就是勾股定理。 我国著名已故数学家华罗庚还曾想到用勾股定理来作为与外星文明进行 第一次谈话的语言。在《数学的用场和发展》一文中他写道：“如果我们宇 宙航船到了一个星球上，那儿也有如我们人类一样高级的生物存在。我们用 什么东西作为我们之间的媒介?带幅画去吧，那边风景特殊，不了解。带一 段录音去吧，也不能沟通。我看最好带两个图形去。一个‘数’，一个‘数 形关系，(勾股定理)。” P10-11