微积分学教程.第二卷

目录
第八章 原函数(不定积分)
1. 不定积分与它的计算的最简单方法
263. 原函数(即不定积分)的概念
264. 积分与面积定义问题
265. 基本积分表
266. 最简单的积分法则
267. 例题
268. 换元积分法
269. 例题
270. 分部积分法
271. 例题
2. 有理式的积分
272. 在有限形状中积分问题的提出
273. 部分分式与它们的积分
274. 分解真分式为部分分式
275. 系数的确定、真分式的积分
276. 分离积分的有理部分
277. 例题
3. 某些含有根式的函数的积分
278. 形状为R(X，〓)的积分、例题
279. 二项式微分的积分、例题
280. 递推公式
281. 形状为R(x，〓)的表达式的积分、欧拉替换
282. 欧拉替换的几何解释
283. 例题
284. 其他的计算方法
285. 例题
4. 含有三角函数与指数函数的表达式的积分
286. 关于R(sin x，cos x)dx的积分
287. 关于表达式sin〓x·cos〓x 的积分
288. 例题
289. 其他情形的概述
5. 椭圆积分
290. 一般说明及定义
291. 辅助变换
292. 化成标准形式
293. 第一、第二与第三类椭圆积分
第九章 定积分
1. 定积分的定义与存在条件
294. 处理面积问题的另一方法
295. 定义
296. 达布和
297. 积分的存在条件
298. 可积函数的种类
299. 可积函数的一些性质
300. 例题及补充
301. 看作极限的下积分与上积分
2. 定积分的一些性质
302. 沿定向区间的积分
303. 用等式表示的一些性质
304. 可用不等式表示的一些性质
305. 定积分看作积分上限的函数
306. 第二中值定理
3. 定积分的计算与变换
307. 借助于积分和的计算
308. 积分学的基本公式
309. 例题
310. 基本公式的另一导出法
311. 递推公式
312. 例题
313. 定积分的换元公式
314. 例题
315. 高斯公式、蓝登变换
316. 换元公式的另一导出法
4. 定积分的一些应用
317. 沃利斯公式
318． 带余项的泰勒公式
319. 数e的超越性
320. 勒让德多项式
321. 积分不等式
5. 积分的近似计算
322. 问题的提出、矩形及梯形公式
323. 抛物线型插值法
324. 积分区间的分割
325. 矩形公式的余项
326. 梯形公式的余项
327. 辛卜森公式的余项
328. 例题
第十章 积分学在几何学、力学与物理学中的应用
1. 弧长
329. 曲线长的计算
330. 定义曲线长度的概念及计算曲线长度的另一种途径
331. 例
332. 平面曲线的内蕴方程
333. 例
334. 空间的曲线的弧长
2. 面积与体积
335. 面积概念的定义、可加性
336. 面积看作极限
337. 可求积的区域的种类
338. 面积的积分表达式
339. 例
340. 体积概念的定义及其特性
341. 有体积的立体的种类
342. 体积的积分表达式
343. 例
344. 旋转曲面的面积
345. 例
346. 柱面面积
347. 例
3. 力学与物理学的数量的计算
348. 定积分应用的大意
349. 曲的静力矩与重心的求法
350. 例
351. 平面图形的静力矩与重心的求法
352. 例
353. 力学上的功
354. 例
355. 平面轴基的摩擦力的功
356. 无穷小元素求和的问题
4. 最简单的微分方程
357. 基本概念、一阶方程
358. 导数的一次方程、分离变量
359. 问题
360. 关于微分方程的构成的附注
361. 问题
第十一章 常数项无穷级数
1. 引言
362. 基本概念
363. 例题
364. 基本定理
2. 正项级数的收敛性
365. 正项级数收敛的条件
366. 级数的比较定理
367. 例题
368. 柯西判别法与达朗贝尔判别法
369. 拉阿伯判别法
370. 例题
371. 库默尔判别法
372. 高斯判别法
373. 麦克劳林-柯西积分判别法
374. 叶尔马科夫判别法
375. 补充材料
3. 任意项级数的收敛性
376. 级数收敛的一般条件
377. 绝对收敛
378. 例题
379. 幂级数、幂级数的收敛区间
380. 用系数表示收敛半径
381. 交错级数
382. 例题
383. 阿贝尔变换
384. 阿贝尔判别法与狄利克雷判别法
385. 例题
4. 收敛级数的性质
386. 可结合性
387. 绝对收敛级数的可交换性
388. 非绝对收敛级数的情形
389. 级数的乘法
390. 例题
391. 极限理论中的一般定理
392. 级数乘法定理的推广
5. 累级数与二重级数
393. 累级数
394. 二重级数
395. 例题
396. 两个变量的幂级数；收敛区域
397. 例题
398. 多重级数
6. 无穷乘积
399. 基本概念
400. 例题
401. 基本定理·与级数的关系
402. 例题
7. 初等函数的展开
403. 展开函数成幂级数；泰勒级数
404. 展开指数函数、基本三角函数及其他函数成为级数
405. 对数级数
406. 斯特林公式
407. 二项式级数
408. 展开sin x与cos x成无穷乘积
8. 借助于级数作近似计算
409. 一般说明
410. 数π的计算
411. 对数的计算
412. 根式计算
413. 欧拉级数的变换
414. 例题
415. 库默尔变换
416. 马尔可夫变换
9. 发散级数的求和法
417. 导言
418. 幂级数法
419. 陶伯定理
420. 算术平均法
421. 泊松-阿贝尔法与切萨罗法的相互关系
422. 哈代-兰道定理
423. 广义求和法在级数乘法上的应用
424. 级数的其他广义求和法
425. 例子
426. 一般的线性正则求和法类
第十二章 函数序列与函数级数
1. 一致收敛性
427. 引言
428. 一致收敛性与非一致收敛性
429. 一致收敛性的条件
430. 级数一致收敛性的判别法
2. 级数和的函数性质
431. 级数和的连续性
432. 关于拟一致收敛的附注
433. 逐项取极限
434. 级数的逐项求积分
435. 级数的逐项求导数
436. 序列的观点
437. 幂级数的和的连续性
438. 幂级数积分与微分
3. 应用
439. 级数和连续性与逐项取极限的例
440. 级数的逐项求积分的例
441. 级数的逐项求导数的例
442. 隐函数理论中的逐次逼近法
443. 三角函数的分析定义
444. 没有导数的连续函数的例子
4. 关于幂级数的补充知识
445. 关于幂级数的运算
446. 把级数代入级数
447. 例
448. 幂级数的除法
449. 伯努利数及含有伯努利数的展式
450. 利用级数解方程
451. 幂级数之反演
452. 拉格朗日级数
5. 复变量的初等函数
453. 复数
454. 复整序变量及其极限
455. 复变量的函数
456. 幂级数
457. 指数函数
458. 对数函数
459. 三角函数及反三角函数
460. 乘方函数
461. 例
6. 包络级数与渐近级数·欧拉-麦克劳林公式
462. 例
463. 定义
464. 渐近展开的基本性质
465. 推导欧拉-麦克劳林公式
466. 对余式的研究
467. 借助于欧拉-麦克劳林公式进行计算的例
468. 欧拉-麦克劳林公式的另一种形式
469. 斯特林公式与斯特林级数
第十三章 反常积分
1. 积分限为无穷的反常积分
470. 积分限为无穷的反常积分的定义
471. 积分学基本公式的用法
472. 例题
473. 与级数类比·最简单的定理
474. 在正函数情形下积分的收敛性
475. 一般情形的积分收敛性
476. 阿贝尔判别法与狄利克雷判别法
477. 把反常积分化为无穷级数
478. 例题
2. 无界函数的反常积分
479. 无界函数的积分的定义
480. 关于奇点的附注
481. 积分学基本公式的用法·例题
482. 积分存在的条件和判断法
483. 例题
484. 反常积分的主值
485. 关于发散积分广义值的附注
3. 反常积分的性质与变形
486. 最简单的一些性质
487. 中值定理
488. 反常积分的分部积分法
489. 例题
490. 反常积分里的变量变换
491. 例题
4. 反常积分的特别计算法
492. 几个有名的积分
493. 用积分和计算反常积分·积分限都为有限的情形
494. 积分带无穷限的情形
495. 伏汝兰尼积分
496. 有理函数在正负无穷之间的积分
497. 杂例和习题
5. 反常积分的近似计算
498. 有限区间上的积分·奇点分出法
499. 例题
500. 关于常义积分的近似计算的附注
501. 带有无穷限的反常积分的近似计算
502. 渐近展开的应用
第十四章 依赖于参数的积分
1. 基本理论
503. 问题的提出
504. 一致趋于极限函数
505. 两个极限过程的互换
506. 在积分号下的极限过程
507. 在积分号下的微分法
508. 在积分号下的积分法
509. 积分限依赖于参数的情形
510. 仅依赖于X的因子的引入
511. 例题
512. 代数学基本定理的高斯证明
2. 积分的一致收敛性
513. 积分的一致收敛性的定义
514. 一致收敛的条件·与级数的联系
515. 一致收敛的充分判别法
516. 一致收敛性的其他情形
517. 例题
3. 积分一致收敛性的应用
518. 在积分号下的极限过程
519. 例题
520. 含参数的积分的连续性与可微性
521. 含参数的积分的积分法
522. 对于一些积分计算的应用
523. 在积分号下取导数的例题
524. 在积分号下求积分的例题
4. 补充
525. 阿尔泽拉引理
526. 积分号下取极限
527. 积分号下取导数
528. 积分号下取积分
5. 欧拉积分
529. 第一型欧拉积分
530. 第二型欧拉积分
531. г函数的一些最简单的性质
532. 由г函数的特性而得的同义定义
533. г函数的其他函数特性
534. 例题
535. г函数的对数导数
536. г函数之叠乘定理
537. 几个级数展式与乘积展式
538. 例与补充
539. 若干定积分之计算
540. 斯特林公式
541. 欧拉常数之计算
542. г函数的以10为底的对数表的编制
索引
校订后记