College Mathematics for Liberal Arts Students

序言

前言

第一篇 必修课程

第一章 微积分的基础问题--集合、实数、极限

§1 极限、实数与集合在微积分中的作用

§2 实数系的建立及邻域概念

2．1 实数系的演变及性质

2．2 刻画极限的邻域概念

§3 变量无限变化的数学模型--极限

3．1 从分形几何中koch雪花的周长谈起--数列极限

3．2 函数极限

3．3 无穷小量

3．4 极限的四则运算

数学家启示录(1)

(一)数学之神--阿基米德

(二)我国古代伟大数学家--祖冲之

习题一

第二章 微积分的研究对象--函数、连续函数

§1 微积分的主要研究对象--初等函数

1．1 变量相依关系的数学模型--函数

.1．2 逆向思维一例--反函数

1．3 基本初等函数

1．4 复合函数

1．5 初等函数的含义

§2 mm能力培养--构建函数模型的步骤和方法

2．1 构建函数模型的步骤和方法

2．2 函数模型举例

§3 变量连续变化的数学模型--连续函数

3．1 连续函数的概念和连续函数求极限的法则

3．2 初等函数的连续性

3．3 闭区间上连续函数的性质

数学家启示录(2)

双目失明的数学家--欧拉

习题二

第三章 变量变化速度与局部改变量估值问题--导数与微分

§1 函数的局部变化率--导数

1．1 抽象导数概念的两个现实原型

1．2 导数概念

1．3 求导过程的哲学分析

1．4 左导数和右导数

1．5 函数的连续性与可导性之间的关系

1．6 高阶导数的概念

§2 求导数的方法--法则与公式

2．1 求导法则

2．2 基本初等函数的求导公式

§3 局部改变量的估值问题--微分及其运算

3．1 微分

3．2 微分公式和法则

3．3 微分在近似计算中的应用

§4 早期微积分的逻辑矛盾--牛顿的流数法和第二次数学危机

数学家启示录(3)

科学巨擘--牛顿

习题三

第四章 导数的应用问题--洛必达法则、函数的性质和图像

§1 联结局部与整体的纽带--中值定理

1．1 费马定理

1．2 中值定理(拉格朗日)

§2 计算不定式极限的一般方法--洛必达法则

2．1 两个基本类型不定式

2．2 其他类型的不定式

§3 用导数研究函数的性质--单调性、极值和最大最小值

3．1 函数的单调性

3．2 函数的极值

3．3 函数的最大值和最小值

§4 利用导数研究函数的图像--曲线的绘制

4．1 曲线的弯曲方向--凹凸性

4．2 利用导数绘制函数的图像

数学家启示录(4)

业余数学家之王--费马

习题四

第五章 微分的逆运算问题--不定积分

§1 逆向思维又一例--原函数与不定积分

1．1 原函数与不定积分的概念

1．2 基本积分公式

1．3 不定积分的线性运算法则

§2 矛盾转化法--换元积分法与分部积分法

2．1 换元积分法

2．2 分部积分法

数学家启示录(5)

符号大师--莱布尼茨

习题五

第六章 求总量的问题--定积分

§1 特殊和式的极限--定积分的概念

1．1 抽象定积分概念的两个现实原型

1．2 定积分的概念

1．3 求定积分过程中的辩证思维

1．4 可积条件

1．5 定积分的性质

§2 计算定积分的一般方法--微积分基本定理

2．1 微积分基本定理

2．2 定积分的换元积分法和分部积分法

§3 定积分的拓展--非正常积分

§4 定积分魅力的显示--在若干学科中的应用

4．1 微元法

4．2 在几何学中的应用

4．3 在物理学中的应用--变力作功

数学家启示录(6)

微积分学在中国的最早传播人--李善兰

习题六

第七章 偶然中蕴含必然的问题--概率统计初步

§1 研究偶然现象的基本元素--随机事件

1．1 随机现象及其描述

1．2 事件的关系及运算

§2 偶然中的必然--概率

2．1 概率的定义

2．2 条件概率

2．3 全概率公式和贝叶斯公式

§3 随机现象的函数化--随机变量

3．1 随机变量的概念

3．2 离散型随机变量

3．3 连续型随机变量

§4 随机现象整体特征的描述--期望值

4．1 加权平均数

4．2 期望值

§5 随机现象离散程度的描述--方差

5．1 方差和标准差

5．2 方差的性质

§6 由部分刻画整体的基础--统计

6．1 总体和样本

6．2 统计量和统计量的分布

§7 由部分刻画整体的方法--统计推断

7．1 参数估计

7．2 假设检验

§8 建立线性函数的买验方法--一元线性回归分析

8．1 一元线性回归方程的建立

8．2 回归方程的相关性检验

数学家启示录(7)

早期研究平均值的科学家--帕斯卡

习题七

第二篇 限修课程

第八章 处理线性关系的数学问题--线性代数概述

§1 一种特殊数--行列式

1．1 行列式的定义

1．2 行列式的性质

§2 线性方程组的解法

2．1 克拉默法则

2．2 消元法

§3 应用广泛的数表--矩阵

3．1 矩阵的概念

3．2 矩阵的运算

3．3 矩阵的应用

数学家启示录(8)

数学王子--高斯

习题八

第九章 含变化率的方程问题--微分方程浅说

§1 微分方程初识--一般概念

1．1 例子

1．2 一般概念

1．3 微分方程及其解的几何解释

§2 特殊类型微分方程的解法--初等积分法

2．1 分离变量法

2．2 可化为变量分离方程的方程

2．3 一阶线性微分方程

§3 几个有趣的实例--若干应用模型

3．1 单种群模型与人口问题

3．2 遗体死亡年代测定问题

3．3 刑事侦察中死亡时间的鉴定问题

3．4 学习过程模型

数学家启示录(9)

数学领域里的一座高耸的金字塔--拉格朗日

习题九

第十章 一元微积分的推广--多元微积分概要

§1 二元函数微积分的预备知识

1．1 解析几何的思想方法

1. 2 空间直角坐标系

1．3 空间曲面与代数方程

§2 二元函数的极限与连续性

2．1 二元函数的概念

2．2 二元函数的极限

2．3 二元函数的连续性

§3 偏导数与全微分

3．1 偏导数及其计算

3．2 全微分

§4 复合函数微分法

§5 二元函数的极值

§6 二重积分的概念与计算

6．1 二重积分的概念与性质

6．2 二重积分的计算

数学家启示录(10)

追求新几何的数学家--笛卡儿

习题十

第三篇 选修课程

第十一章 一类管理决策问题--线性规划略谈

§1 一类优化问题的数学抽象--线性规划模型

1．1 线性规划模型的构建

1．2 线性规划模型的标准形式

§2 线性规划的一般解法--单纯形法

2．1 两个变量线性规划的图解法

2．2 线性规划问题的代数解法--单纯形法

数学家启示录(11)

自学成才的数学大师--华罗庚

习题十一

第十二章 数学的普遍性问题--数学方法论简介

§1 数学的对象、动力及作用--数学观

1．1 何为数学

1．2 数学发展的动力

1．3 数学对人类文化的作用

§2 数学的特征--数学的科学性和艺术性

2．1 数学的科学性

2．2 数学的艺术性

2．3 数学美及其特征

§3 现实原型量化的基本方法--数学模型方法

3．1 数学模型方法的含义及分类

3．2 数学模型的构造过程和步骤

§4 构建理论体系的基本方法--公理化方法

4．1 公理化方法及其基本内容

4．2 公理化方法的作用

§5 程序化的矛盾转化法--关系映射反演方法

5．1 何谓关系映射反演方法

5．2 rmi方法的拓广及应用

§6 数学推理的两种形式--合情推理与论证推理

6．1 合情推理及其模式

6．2 论证推理

数学家启示录(12)

近代数学巨匠--希尔伯特

附录一 习题答案与提示

附录二 三个数表

(一)标准正态分布函数值表

(二)x2分布临界值表

(三)相关系数临界值表

参考文献