高教版考研大纲2017考研数学复习教程

第一篇 微 积 分
第一章 函数、极限与连续.......... 1
 § 1. 1 函数............... 1
  一、考核内容要点........... 1
  二、补充公式与结论.......... 5
  三、典型问题与方法技巧........ 5
   1. 考查函数各种特性问题....... 5
   2. 函数复合问题........... 6
 § 1. 2 极限............... 7
  一、考核内容要点........... 7
  二、补充公式与结论.......... 11
  三、典型问题与方法技巧........ 12
   1. 考查极限概念及性质问题..... 12
   2. 求极限问题........... 13
   3. 关于无穷小阶的问题....... 24
 § 1. 3 函数的连续性与间断点...... 26
  一、考核内容要点........... 26
  二、典型问题与方法技巧........ 27
   1. 判断函数f(x)在某点x0 处连续与间断问题............ 27
   2. 利用闭区间上连续函数性质证明问题. 29
 强化训练(一).............. 31
第二章 一元函数微分学.......... 35
 § 2. 1 导数与微分........... 35
  一、考核内容要点........... 35
  二、补充公式与结论.......... 39
  三、典型问题与方法技巧........ 40
   1. 考查导数、微分概念的问题..... 40
   2. 导数与微分的计算问题...... 43
   3. 求高阶导数问题......... 46
   4. 利用导数求平面曲线的切线方程、法线方程问题.......... 49
 § 2. 2 微分中值定理.......... 51
  一、考核内容要点........... 51
  二、典型问题与方法技巧........ 53
   1. 利用罗尔定理证明中值问题.... 54
   2. 利用拉格朗日中值定理证明中值问题. 57
   3. 利用柯西中值定理证明中值问题.. 59
   4. 利用泰勒公式证明中值问题.... 60
   5. 综合题............. 61
 § 2. 3 导数应用............ 63
  一、考核内容要点........... 63
  二、典型问题与方法技巧........ 66
   1 函数的单调性、单调区间及极值问题.. 66
   2 函数曲线的凹凸区间、拐点及渐近线问题............. 70
   3 方程实根(函数零点,两曲线交点)问题.............. 73
   4 不等式的证明问题........ 74
   5. 导数在经济中的应用问题..... 77
 强化训练(二).............. 78
第三章 一元函数积分学.......... 84
 § 3. 1 不定积分............ 84
  一、考核内容要点........... 84
  二、典型问题与方法技巧........ 89
   1 关于原函数与不定积分的基本概念性问题............. 89
   2 不定积分的计算问题....... 90
   3 综合题............. 91
 § 3. 2 定积分............. 93
  一、考核内容要点........... 93
  二、补充公式与结论.......... 96
  三、典型问题与方法技巧........ 97
   1. 关于定积分概念及性质的问题... 97
   2. 关于变限积分的问题....... 99
   3. 利用基本积分公式及积分法计算定积分............. 101
   4. 几种重要类型被积函数的积分... 103
   5. 定积分证明问题......... 105
   6. 反常积分问题.......... 107
 § 3. 3 定积分应用........... 108
  一、考核内容要点.......... 108
  二、典型问题与方法技巧....... 110
   1. 求平面图形面积问题....... 110
   2. 求旋转体的体积问题....... 111
 强化训练(三)............. 112
第四章 多元函数微分学......... 117
 § 4. 1 多元函数的极限与连续、偏导数与全微分............. 117
  一、考核内容要点.......... 117
  二、典型问题与方法技巧....... 119
   1. 关于多元函数连续性、可导性及可微性问题............ 119
   2. 求多元复合函数的偏导数或全微分问题.............. 122
   3. 求方程确定的隐函数的偏导数、全微分问题............. 125
 § 4. 2 多元函数的极值与最值...... 127
  一、考核内容要点.......... 127
  二、典型问题与方法技巧....... 128
   1. 求多元函数无条件极值问题.... 128
   2. 求多元函数条件极值问题..... 130
   3. 求多元函数在闭区域上的最值问题.. 131
 强化训练(四)............. 132
第五章 二重积分............ 136
  一、考核内容要点.......... 136
  二、典型问题与方法技巧....... 140
   1. 交换积分次序问题........ 140
   2. 利用基本方法计算二重积分.... 142
   3. 被积函数为分段函数及隐含分段函数的二重积分问题....... 144
   4. 综合题............. 145
 强化训练(五)............. 147
第六章 无穷级数............ 150
 § 6. 1 数项级数............ 150
  一、考核内容要点.......... 150
  二、补充公式与结论......... 152
  三、典型问题与方法技巧....... 153
   1. 判定数项级数收敛性问题..... 153
   2. 数项级数求和问题........ 157
 § 6. 2 幂级数............. 158
  一、考核内容要点.......... 158
  二、典型问题与方法技巧....... 163
   1. 求幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域问题........... 163
   2. 求函数的幂级数展开式问题.... 164
   3. 求幂级数的和函数与数项级数求和问题.............. 166
 强化训练(六)............. 169
第七章 常微分方程与差分方程...... 173
  一、考核内容要点.......... 173
  二、典型问题与方法技巧....... 176
   1. 求解一阶微分方程问题...... 176
   2. 一阶常系数线性差分方程问题... 182
   3. 求解高阶常系数线性微分方程问题.. 182
 强化训练(七)............. 186
第二篇 线性代数
第一章 行列式............. 190
  一、考核内容要点.......... 190
  二、补充公式与结论......... 195
  三、典型问题与方法技巧....... 197
   1. 关于余子式、代数余子式问题... 197
   2. 数值型行列式的计算问题..... 198
   3. 抽象型行列式的计算问题..... 202
   4. 克拉默法则应用问题....... 205
 强化训练(一)............. 207
第二章 矩阵.............. 210
  一、考核内容要点.......... 210
  二、补充公式与结论......... 216
  三、典型问题与方法技巧....... 218
   1. 有关矩阵基本运算的问题..... 218
   2. 求数值型矩阵的逆矩阵问题.... 220
   3. 求抽象型矩阵的逆矩阵问题.... 222
   4. 讨论(证明)矩阵可逆性问题.... 223
   5. 解矩阵方程问题......... 224
   6. 有关初等变换和初等矩阵问题... 226
   7. 有关矩阵秩的问题........ 228
 强化训练(二)............. 232
第三章 向量.............. 236
  一、考核内容要点.......... 236
  二、补充公式与结论......... 239
  三、典型问题与方法技巧....... 240
   1. 判别数值型向量组的线性相关性问题........... 240
   2. 判别抽象型向量组的线性相关性问题........... 242
   3. 考查数值型向量(组)的线性表示及等价性问题........ 245
   4. 考查抽象型向量(组)的线性表示问题............ 249
   5. 向量组的极大无关组与秩的问题... 251
 强化训练(三)............. 253
第四章 线性方程组........... 257
一、考核内容要点.......... 257
  二、补充公式与结论......... 263
  三、典型问题与方法技巧....... 263
   1. 考查线性方程组解的判定、性质与结构问题......... 263
   2. 有关基础解系的论证问题..... 267
   3. 数值型线性方程组求解问题.... 269
   4. 抽象型线性方程组求解问题.... 273
   5. 求两个线性方程组的公共解的问题.............. 276
   6. 讨论两个线性方程组解的关系问题.............. 279
 强化训练(四)............. 281
第五章 矩阵的特征值和特征向量..... 287
  一、考核内容要点.......... 287
  二、补充公式与结论......... 292
  三、典型问题与方法技巧....... 292
   1. 求数值型矩阵的特征值、特征向量问题............ 292
   2. 求抽象型矩阵的特征值、特征向量问题............ 295
   3. 特征值、特征向量的逆问题.... 297
   4. 矩阵相似对角化问题....... 299
   5. 矩阵相似的判定问题....... 302
   6. 实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角化问题...... 305
   7. 特征值和特征向量的应用问题... 307
 强化训练(五)............. 311
第六章 二次型............. 317
  一、考核内容要点.......... 317
  二、补充公式与结论......... 320
  三、典型问题与方法技巧....... 320
   1. 考查二次型的秩及正、负惯性指数等基本概念性问题...... 320
   2. 化二次型为标准形问题...... 322
   3. 考查二次型或对称矩阵的正定性问题........... 328
 强化训练(六)............. 329
第三篇 概率论与数理统计
第一章 随机事件与概率......... 333
  一、考核内容要点.......... 333
  二、补充公式与结论......... 336
  三、典型问题与方法技巧....... 337
   1 考查随机事件的关系与运算及其逆问题.............. 337
   2 利用四种概型求概率问题..... 339
   3 利用概率的公式、性质求概率问题. 343
 强化训练(一)............. 345
第二章 随机变量及其分布........ 348
  一、考核内容要点.......... 348
  二、补充公式与结论......... 352
  三、典型问题与方法技巧....... 353
   1 考查随机变量概率分布(分布函数、概率密度、分布律)的概念性问题及确定其中未知参数的问题..... 353
   2 求随机变量的概率分布问题.... 355
   3 利用已知概率分布求概率问题... 358
   4 求随机变量函数的分布问题.... 361
 强化训练(二)............. 367
第三章 多维随机变量及其分布...... 372
  一、考核内容要点.......... 372
  二、补充公式与结论......... 379
  三、典型问题与方法技巧....... 379
   1 求二维随机变量的概率分布(联合分布、边缘分布、条件分布)及其中未知参数问题.......... 379
   2 利用二维概率分布求概率问题... 388