高等数学竞赛题解析教程

专题1 极限与连续
  1.1 基本概念与内容提要
    1.1.1 一元函数基本概念
    1.1.2 数列的极限
    1.1.3 函数的极限
    1.1.4 证明数列或函数极限存在的方法
    1.1.5 无穷小量
    1.1.6 无穷大量
    1.1.7 求数列或函数的极限的方法
    1.1.8 函数的连续性
  1.2 竞赛题与精选题解析
    1.2.1 求函数的表达式（例1.1 -1.4 ）
    1.2.2 利用四则运算求极限（例1.5 -1.1 8）
    1.2.3 利用夹逼准则与单调有界准则求极限（例1.1 9-1.2 8）
    1.2.4 利用两个重要极限求极限（例1.2 9-1.3 2）
    1.2.5 利用等价无穷小因子代换求极限（例1.3 3-1.3 8）
    1.2.6 无穷小比较与无穷大比较（例1.3 9-1.4 2）
    1.2.7 连续性与间断点（例1.4 3-1.4 9）
    1.2.8 利用介值定理的证明题（例1.5 0-1.5 4）
  练习题一
专题2 一元函数微分学
  2.1 基本概念与内容提要
    2.1.1 导数的定义
    2.1.2 左、右导数的定义
    2.1.3 微分概念
    2.1.4 基本初等函数的导数公式
    2.1.5 求导法则
    2.1.6 高阶导数
    2.1.7 微分中值定理
    2.1.8 泰勒公式与马克劳林公式
    2.1.9 洛必达法则
    2.1.1 0导数在几何上的应用
  2.2 竞赛题与精选题解析
    2.2.1 利用导数的定义解题（例2.1 -2.7 ）
    2.2.2 利用求导法则解题（例2.8 -2.1 5）
    2.2.3 求高阶导数（例2.1 6-2.2 9）
    2.2.4 与微分中值定理有关的证明题（例2.3 0-2.4 9）
    2.2.5 马克劳林公式与泰勒公式的应用（例2.5 0-2.7 0）
    2.2.6 利用洛必达法则求极限（例2.7 1-2.8 1）
    2.2.7 导数在几何上的应用（例2.8 2-2.1 01）
    2.2.8 不等式的证明（例2.1 02-2.1 13）
  练习题二
专题3 一元函数积分学
  3.1 基本概念与内容提要
    3.1.1 不定积分基本概念
    3.1.2 基本积分公式
    3.1.3 不定积分的计算
    3.1.4 定积分基本概念
    3.1.5 定积分中值定理
    3.1.6 变限的定积分
    3.1.7 定积分的计算
    3.1.8 奇偶函数与周期函数定积分的性质
    3.1.9 定积分在几何与物理上的应用
    3.1.10 反常积分
  3.2 竞赛题与精选题解析
    3.2.1 求原函数（例3.1  3.4 ）
    3.2.2 求不定积分（例3.5 -3.1 9）
    3.2.3 利用定积分的定义求极限（例3.2 0-3.2 6）
    3.2.4 应用积分中值定理解题（例3.2 7-3.3 2）
    3.2.5 变限的定积分的应用（例3.3 3-3.4 8）
    3.2.6 定积分的计算（例3.4 9 3.6 7）
    3.2.7 定积分在几何与物理上的应用（例3.6 8-3.7 9）
    3.2.8 积分不等式的证明（例3.8 0-3.1 07）
    3.2.9 积分等式的证明（例3.1 08-3.1 11）
    3.2.1 0反常积分（例3.1 12-3.1 20）
  练习题三
专题4 多元函数微分学
  4.1 基本概念与内容提要
  4.1 I l二元函数的极限与连续性-
    4.1.2 偏导数与全微分
    4.1.3 多元复合函数与隐函数的偏导数
    4.1.4 高阶偏导数
    4.1.5 二元函数的极值
    4.1.6 条件极值
    4.1.7 多元函数的最值
  4.2 竞赛题与精选题解析
    4.2.1 求二元函数的极限（例4.1 -4.2 ）
    4.2.2 二元函数的连续性、可偏导性与可微性（例4.3 -4.8 ）
    4.2.3 求多元复合函数与隐函数的偏导数（例4.9 -4.2 0）
    4.2.4 求高阶偏导数（例4.2 1-4.3 0）
    4.2.5 求二元函数的极值（例4.3 1-4.3 5）
    4.2.6 求条件极值（例4.3 6-4.3 9）
    4.2.7 求多元函数在有界闭域上的最值（例4.4 0一4.4 1）
  练习题四
专题5 多元函数积分学
  5.1 基本概念与内容提要
    5.1.1 二重积分基本概念
    5.1.2 二重积分的计算
    5.1.3 交换二次积分的次序
    5.1.4 三重积分基本概念与计算
    5.1.5 重积分的应用
    5.1.6 曲线积分基本概念与计算
    5.1.7 格林公式
    5.1.8 曲面积分基本概念与计算
    5.1.9 斯托克斯公式
    5.1.1 0高斯公式
  5.2 竞赛题与精选题解析
    5.2.1 二重积分的计算（例5.1 -5.1 6）
    5.2.2 交换二次积分的次序（例5.1 7 5.2 6）
    5.2.3 三重积分的计算（例5.2 7 5.3 1）
    5.2.4 与重积分有关的不等式的证明（例5.3 2-5.3 8）
    5.2.5 曲线积分的计算（例5.3 9-5.4 4）
    5.2.6 应用格林公式解题（例5.4 5-5.5 5）
    5.2.7 曲面积分的计算（例5.5 6-5.5 8）
    5.2.8 应用斯托克斯公式解题（例5.5 9-5.6 0）
    5.2.9 应用高斯公式解题（例5.6 1-5.6 7）
    5.2.1 0多元函数积分学的应用题（例5.6 8 5.7 7）
  练习题五
专题6 空间解析几何
  6.1 基本概念与内容提要
    6.1.1 向量的基本概念与向量的运算
    6.1.2 空间的平面
  6.1 _3空间的直线
    6.1.4 空间的曲面
    6.1.5 空间的曲线
  6.2 竞赛题与精选题解析
    6.2.1 向量的运算（例6.1 -6.5 ）
    6.2.2 空间平面的方程（例6.6 -6.9 ）
    6.2.3 空间直线的方程（例6.1 0-6.1 5）
    6.2.4 空间曲面的方程与空间曲面的切平面（例6.1 6-6.2 6）
    6.2.5 空间曲线的方程与空间曲线的切线（例6.2 7 6.3 2）
  练习题六
专题7 级数
  7.1 基本概念与内容提要
    7.1.1 数项级数的主要性质
    7.1.2 正项级数敛散性判别法
    7.1.3 任意项级数敛散性判别法
    7.1.4 幂级数的收敛半径、收敛域与和函数
    7.1.5 初等函数关于z的幂级数展开式
    7.1.6 傅氏级数
  7.2 竞赛题与精选题解析
    7.2.1 判别正项级数的敛散性（例7.1 -7.1 6）
    7.2.2 判别任意项级数的敛散性（例7.1 7 7.2 8）
    7.2.3 ，求幂级数的收敛域与和函数（例7.2 9-7.4 6）
    7.2.4 求数项级数的和（例7.4 7-7.5 4）
    7.2.5 求初等函数关于x的幂级数展开式（例7.5 5-7.6 1）
    7.2.6 求函数的傅氏级数展开式（例7.6 2）
  练习题七
专题8 微分方程
  8.1 基本概念与内容提要
    8.1.1 微分方程的基本概念
    8.1.2 一阶微分方程
    8.1.3 二阶微分方程
    8.1.4 微分方程的应用
  8.2 竞赛题与精选题解析
    8.2.1 微分方程的特解（例8.1 -8.3 ）
    8.2.2 变量可分离方程的应用题（例8.4 -8.8 ）
    8.2.3 齐次微分方程的应用题（例8.9 ）
    8.2.4 一阶线性微分方程的应用题（例8.1 0-8.1 2）
    8.2.5 求解二阶线性微分方程（例8.1 3-8.2 0）
    8.2.6 求解可化为二阶线性微分方程的微分方程（例8.2 1-8.2 2）
  练习题八
练习题答案与提示