数学物理方程中的近代分析方法[电子资源.图书]

第一章 摄动方法
1 基本概念
1-1 摄动问题的提出
1-2 量阶符号
1-3 渐近展开式
1-4 正则摄动与奇异摄动
2 正则摄动方法举例
3 奇异摄动问题举例
4 多重尺度法
4-1 直接展开法
4-2 精确解
4-3 多重尺度法的应用
5 几点说明
习题1-1
参考文献
第二章 泛函分析基础
1 集的基本概念
1-1 集和集的运算
1-2 集的对等
1-3 可列集与不可列集
习题2-1
2 距离空间
2-1 距离空间的概念
2-2 开集·数轴上开集的构造
2-3 收敛序列和闭集
2-4 稠密集·可分空间
2-5 距离空间的完备性与完备化
2-6 压缩映照原理
2-7 距离空间内集的列紧性
习题2-2
3 勒贝格测度与勒贝格积分
3-1 积分概念扩充的必要性
3-2 数轴上点集的测度
3-3 可测函数
3-4 有界可测函数的勒贝格积分
3-5 无界函数的勒贝格积分
3-6 多元函数的勒贝格积分与富比尼定理
习题2-3
4 线性有界算子·巴拿赫空间中的几个定理
4-1 线性赋范空间
4-2 线性有界算子
4-3 共轭空间
4-4 巴拿赫空间中的基本定理
习题2-4
5 希尔伯特空间
5-1 内积空间
5-2 希尔伯特空间中的正交展开
5-3 希尔伯特空间的同构
5-4 希尔伯特空间上有界线性泛函的一般形式
习题2-5
参考文献
第三章 泛函极值及变分法
1 算子的微分
1-1 Gateaux微分
1-2 Frechet微分
2 泛函的极值
2-1 泛函极值及其必要条件
2-2 Euler-Lagrange方程
习题3-2
3 自由边界和自然边界条件
习题3-3
4 变分原理
4-1 线性算子方程
4-2 共轭算子和自共轭算子
4-3 正定对称算子的变分原理
5 泛函的条件极值
5-1 有限维约束条件
5-2 无穷维约束条件
习题3-5
6 变分问题的近似方法
6-1 Ritz法
6-2 Galerkin法
6-3 坐标函数的选取
习题3-6
参考文献
第四章 积分方程
1 积分方程的概念和分类
1-1 基本概念
1-2 积分方程与微分方程的关系
习题4-1
2 积分方程解的存在唯一性
习题4-2
3 自共轭积分算子的谱理论
3-1 全连续自共轭算子及其特征值和特征函数系
3-2 依特征函数系的展开定理
习题4-3
4 Fredholm定理
4-1 线性代数方程的Fredholm定理
4-2 退化核积分方程的代数解法
4-3 退化核积分方程的Fredholm定理
4-4 连续核及平方可积核的Fredholm定理
习题4-4
参考文献
第五章 广义函数与偏微分方程广义解
1 引言
1-1 古典函数的局限性
1-2 偏微分方程古典解的局限性
1-3 广义函数的引入与δ函数
2 基本空间
2-1 空间C∞(Ω)
2-2 空间C？(Ω)
2-3 速降函数空间？(Rn)
2-4 半范与B0空间
习题5-2
3 广义函数及其运算
3-1 ？1，1？及？1广义函数
3-2 广义函数的支集
3-3 广义函数的极限
3-4 广义函数的导数
3-5 广义函数的乘子
3-6 广义函数的自变量变换
3-7 广义函数的卷积
习题5-3
4 Fourier变换
4-1 ？(Rn)上的Fourier变换
4-2 ？′(Rn)上的Fourier变换
习题5-4
5 偏微分方程基本解
5-1 线性偏微分方程基本解
5-2 波动方程Cauchy问题的基本解及广义解
5-3 热传导方程Cauchy问题的基本解及广义解
习题5-5
6 偏微分方程广义解
6-1 线性偏微分方程广义解存在的充分必要条件
6-2 Sobolev空间简介
6-3 二阶椭圆型方程Dirichlet问题在H？(Ω)中的可解性
参考文献
附录 Fourier变换简表
习题答案