简介
有限元法(FiniteElementMethod)是随着电子计算机的广泛应用而产生的一种计算方法。它是近似求解一般连续体问题的数值方法。从物理方面看：它是用仅在单元结点上彼此相连的单元组合体来代替待分析的连续体，也即将待分析的连续体划分成若干个彼此相联系的单元。通过单元的特性分析，来求解整个连续体的特性。从数学方面看：它是使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题，使问题大大简化，或者说使不能求解的问题能够求解。一经求解出单元未知量，就可以利用插值函数确定连续体上的场函数。显然，随着单元数目的增加，即单元尺寸的缩小，解的近似程度将不断得到改进。如果单元是满足收敛要求的，近似解将收敛于精确解。有限元法借助于两个重要工具：在理论推导上采用了矩阵方法，在实际计算中采用了计算机技术。本章将介绍学习有限元法的必要预备知识。下面介绍的弹性理论有关方程的矩阵表示以及虚位移原理与势能原理是建立有限元方程的重要理论基础。当我们求出单元的结点位移后，与杆系结构一样，希望利用结点位移求出单元内任一点位移；在作单元分析确定单元结点力与单元结点位移关系时，也需要将单元中任一点位移用单元结点位移表示。一般情况下，单元内任一点的实际位移是坐标的很复杂的函数，仅利用单元的六个结点位移是不能精确表示的。正如上一章所述，一般情况下，由结点位移表示的单元内位移只是实际位移的一部分，或者说是实际位移的一个近似。实践表明，当合理地选择由结点位移可以确定的、用以替代单元的实际位移的位移形式，随着单元尺寸的减小，结果会收敛于实际位移的。我们把在有限元分析中用来替代单元实际位移的位移形式称为位移函数。可见，位移函数的选择直接关系到结果的收敛性，是很关键的一步。一般从台劳级数展开的意义出发，选多项式作为位移函数。这不仅运算简单，并且可由项数的多少直接控制结果的精度。按这样的思路，对当前单元，因仅有6个结点位移，故可选下式为单元的位移函数。（p1)
目录
第1章预备知识…………………………………………………………………………………1
1．1引言……………………………………………………………………………………1
1．2矩阵符号约定…………………………………………………………………………1
1．3弹性理论有关方程的矩阵表示………………………………………………………2
1．4虚位移原理与势能原理………………………………………………………………6
1．5里兹法…………………………………………………………………………………15
习题…………………………………………………………………………………………20
第2章杆系有限元分析……………………………………………………………………………22
2．1平面等直杆的单元分析………………………………………………………………22
2．2近似分析中虚位移原理的实质………………………………………………………28
2．3平面杆系结构的整体分析……………………………………………………………32
2．4本章内容小结…………………………………………………………………………39
习题…………………………………………………………………………………………39
第3章弹性力学平面问题……………………………………………………………………40
3．1引言……………………………………………………………………………………41
3．2常应变三角形单元…………………………………………………………………42
3．3有限元分析中的误差及收敛性………………………………………………………49
3．4矩形双线性单元………………………………………………………………………50
3．5单元的形函数及高阶单元……………………………………………………………54
3．6等参数单元的单元分析………………………………………………………………66
3．7有限元分析中一些应注意的问题……………………………………………………81
习题…………………………………………………………………………………………85
第4章空间与轴对称问题……………………………………………………………………89
4．1空间问题………………………………………………………………………………89
4．2轴对称问题………………………………………………………………………………105
4．3轴对称问题的等参元分析…………………………………………………………110
4．4非轴对称荷载………………………………………………………………………111
习题…………………………………………………………………………………………117
第5章板壳有限元……………………………………………………………………………119
5．1 12自由度矩形薄板弯曲单元(R．J．Melosh单元)…………………………………119
5．2 9自由度三角形薄板弯曲单元……………………………………………………129
5．3弹性地基板的分析…………………………………………………………………137
5．4 SAP薄板弯曲单元…………………………………………………………………141
5．5建立薄板弯曲协调元方法简介……………………………………………………147
5．6考虑横向剪切影响的薄板弯曲单元……………………………………………149
5．7平面壳体单元………………………………………………………………………155
5．8考虑横向剪切变形影响的壳体单元(曲面壳元)…………………………………164
5．9轴对称变形的旋转壳单元…………………………………………………………173
5。10广义协调元简介……………………………………………………………………177
习题…………………………………………………………………………………………18l
第6章广义变分原理及其在有限元分析中的应用…………………………………………183
6．1虚力原理与余能原理………………………………………………………………183
6．2泛函的变换格式……………………………………………………………………185
6．3含可选参数的广义变分原理………………………………………………………188
6．4基于Reissner原理的混合元分析……………………………………………………190
6．5薄板弯曲问题的混合元分析…………………………………………………………192
6．6放松边界连续性要求的变分原理及杂交元………………………………………199
6．7本章的几点补充说明………………………………………………………………205
习题…………………………………………………………………………………………206
第7章其他数值方法简单介绍………………………………………………………………207
7．1加权余量法的基本概念……………………………………………………………207
7．2离散型加权余量法…………………………………………………………………2ll
7．3弹性力学平面问题的加权余量法…………………………………………………216
7．4加权余量有限元及平面稳定温度场计算…………………………………………218
7．5广义协调元简介……………………………………………………………………223
7．6半解析法……………………………………………………………………………229
7．7样条有限元…………………………………………………………………………236
7．8边界单元法的基本概念……………………………………………………………240
第8章非线性代数方程组的数值解法………………………………………………………251
8．1直接迭代法……………………………………………………………………………251
8．2牛顿法和修正牛顿法………………………………………………………………253
8．3拟牛顿法……………………………………………………………………………254
8．4增量法………………………………………………………………………………259
8．5增量弧长法…………………………………………………………………………261
第9章非线性本构关系简介…………………………………………………………………264
9．1弹性介质本构关系…………………………………………………………………264．
9．2弹塑性介质本构关系………………………………………………………………265
9．3几种常用弹塑性材料模型简介…………………………………………………270
9．4弹塑性本构关系弹塑性矩阵D锄的建立步骤……………………………………272
第10章材料非线性有限元分析……………………………………………………………273
lO．1非线弹性问题的有限单元法………………………………………………………273
10．2弹塑性问题的有限单元法…………………………………………………………276
第11章固体力学大变形基础知识…………………………………………………………279
11．1物体运动等的物质描述……………………………………………………………279
11．2格林(green)和阿耳曼西(Almansi)应变…………………………………………28l
11．3物体运动等的空问描述和变形率…………………………………………………283
11．4欧拉(Euler)、拉格朗日(I．agrange)、克希荷夫(Kirchhoff)应力………………285
11．5大变形情况下的平衡方程和虚位移原理的虚功方程……………………………288
11．6大变形情况的本构关系……………………………………………………………290
第12章大变形问题的有限单元法…………………………………………………………292
12．1弹性稳定问题的有限单元法………………………………………………………292
12．2大变形弹性问题的有限单元法……………………………………………………297
12．3大变形增量问题的T．L法和u．l法……………………………………………298
附录1二维和三维问题程序简介……………………………………………………………306
附1．1简要说明：………………………………………………………………………306
附1．2主程序框图………………………………………………………………………306
附1．3数据文件所包含的内容…………………………………………………………306
附录2向量与张量……………………………………………………………………………310
附2．1向量………………………………………………………………………………310
1．1引言……………………………………………………………………………………1
1．2矩阵符号约定…………………………………………………………………………1
1．3弹性理论有关方程的矩阵表示………………………………………………………2
1．4虚位移原理与势能原理………………………………………………………………6
1．5里兹法…………………………………………………………………………………15
习题…………………………………………………………………………………………20
第2章杆系有限元分析……………………………………………………………………………22
2．1平面等直杆的单元分析………………………………………………………………22
2．2近似分析中虚位移原理的实质………………………………………………………28
2．3平面杆系结构的整体分析……………………………………………………………32
2．4本章内容小结…………………………………………………………………………39
习题…………………………………………………………………………………………39
第3章弹性力学平面问题……………………………………………………………………40
3．1引言……………………………………………………………………………………41
3．2常应变三角形单元…………………………………………………………………42
3．3有限元分析中的误差及收敛性………………………………………………………49
3．4矩形双线性单元………………………………………………………………………50
3．5单元的形函数及高阶单元……………………………………………………………54
3．6等参数单元的单元分析………………………………………………………………66
3．7有限元分析中一些应注意的问题……………………………………………………81
习题…………………………………………………………………………………………85
第4章空间与轴对称问题……………………………………………………………………89
4．1空间问题………………………………………………………………………………89
4．2轴对称问题………………………………………………………………………………105
4．3轴对称问题的等参元分析…………………………………………………………110
4．4非轴对称荷载………………………………………………………………………111
习题…………………………………………………………………………………………117
第5章板壳有限元……………………………………………………………………………119
5．1 12自由度矩形薄板弯曲单元(R．J．Melosh单元)…………………………………119
5．2 9自由度三角形薄板弯曲单元……………………………………………………129
5．3弹性地基板的分析…………………………………………………………………137
5．4 SAP薄板弯曲单元…………………………………………………………………141
5．5建立薄板弯曲协调元方法简介……………………………………………………147
5．6考虑横向剪切影响的薄板弯曲单元……………………………………………149
5．7平面壳体单元………………………………………………………………………155
5．8考虑横向剪切变形影响的壳体单元(曲面壳元)…………………………………164
5．9轴对称变形的旋转壳单元…………………………………………………………173
5。10广义协调元简介……………………………………………………………………177
习题…………………………………………………………………………………………18l
第6章广义变分原理及其在有限元分析中的应用…………………………………………183
6．1虚力原理与余能原理………………………………………………………………183
6．2泛函的变换格式……………………………………………………………………185
6．3含可选参数的广义变分原理………………………………………………………188
6．4基于Reissner原理的混合元分析……………………………………………………190
6．5薄板弯曲问题的混合元分析…………………………………………………………192
6．6放松边界连续性要求的变分原理及杂交元………………………………………199
6．7本章的几点补充说明………………………………………………………………205
习题…………………………………………………………………………………………206
第7章其他数值方法简单介绍………………………………………………………………207
7．1加权余量法的基本概念……………………………………………………………207
7．2离散型加权余量法…………………………………………………………………2ll
7．3弹性力学平面问题的加权余量法…………………………………………………216
7．4加权余量有限元及平面稳定温度场计算…………………………………………218
7．5广义协调元简介……………………………………………………………………223
7．6半解析法……………………………………………………………………………229
7．7样条有限元…………………………………………………………………………236
7．8边界单元法的基本概念……………………………………………………………240
第8章非线性代数方程组的数值解法………………………………………………………251
8．1直接迭代法……………………………………………………………………………251
8．2牛顿法和修正牛顿法………………………………………………………………253
8．3拟牛顿法……………………………………………………………………………254
8．4增量法………………………………………………………………………………259
8．5增量弧长法…………………………………………………………………………261
第9章非线性本构关系简介…………………………………………………………………264
9．1弹性介质本构关系…………………………………………………………………264．
9．2弹塑性介质本构关系………………………………………………………………265
9．3几种常用弹塑性材料模型简介…………………………………………………270
9．4弹塑性本构关系弹塑性矩阵D锄的建立步骤……………………………………272
第10章材料非线性有限元分析……………………………………………………………273
lO．1非线弹性问题的有限单元法………………………………………………………273
10．2弹塑性问题的有限单元法…………………………………………………………276
第11章固体力学大变形基础知识…………………………………………………………279
11．1物体运动等的物质描述……………………………………………………………279
11．2格林(green)和阿耳曼西(Almansi)应变…………………………………………28l
11．3物体运动等的空问描述和变形率…………………………………………………283
11．4欧拉(Euler)、拉格朗日(I．agrange)、克希荷夫(Kirchhoff)应力………………285
11．5大变形情况下的平衡方程和虚位移原理的虚功方程……………………………288
11．6大变形情况的本构关系……………………………………………………………290
第12章大变形问题的有限单元法…………………………………………………………292
12．1弹性稳定问题的有限单元法………………………………………………………292
12．2大变形弹性问题的有限单元法……………………………………………………297
12．3大变形增量问题的T．L法和u．l法……………………………………………298
附录1二维和三维问题程序简介……………………………………………………………306
附1．1简要说明：………………………………………………………………………306
附1．2主程序框图………………………………………………………………………306
附1．3数据文件所包含的内容…………………………………………………………306
附录2向量与张量……………………………………………………………………………310
附2．1向量………………………………………………………………………………310
有限单元法教程
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