简介
在这本小册子里，我们在第一部分先给出全部有限域，并且介绍有限域的各种奇妙的性质．在第二部分讲述有限域的一些应用．这是一本通俗读物，爱好数学的中学生可以读懂本书的大部分内容．此外，《有限域及其应用》还需要线性代数的初步知识，主要是向量空间概念，矩阵的运算和域上解线性方程组的知识．除了“域”之外，我们还使用了抽象代数中另两个术语：“群”和“环”．这些术语并不深奥，我们主要涉及很简单的交换群、多项式环和有限域．问题的叙述和证明都尽量做得通俗，并举出例子加以说明，我们也常常加一些注记，为了使了解更多代数知识的人画龙点睛地指明事情的实质，或者描述一下有限域更深刻的理论进展，更广泛的应用，以及尚未解决的问题．在数学发展的历史长河和广泛天地之中，有限域(finitefield)只是数学田野(field)中一朵清新的小花，作者希望通过这朵小花使读者感受到数学之美，数学应用的广泛，以及数学和应用的相互促进．
目录
续编说明/1
编写说明/3
引言/5
理论部分
一 来自初等数论的有限域/1
1.1 整除性和同余性/1
习题/14
1.2 P元有限域/15
习题/30
二 一般有限域/31
2.1 域上的多项式环/31
习题/43
2.2 构作一般有限域/43
习题/55
三 有限域上的函数/57
3.1 广义布尔函数/57
习题/61
3.2 幂级数/61
习题/78
3.3 加法特征和乘法特征/79
习题/92
3.4 高斯和与雅可比和/92
习题/104
四 有限域上的几何/106
4.1 有限仿射几何/107
习题/117
4.2 有限射影几何/118
习题/128
4.3 平面仿射曲线和平面射影曲线/128
习题/135
五 有限域中解方程/136
5.1 谢瓦莱-瓦宁定理:解的存在性/136
习题/150
5.2 多元二次方程/150
习题/167
5.3 费马曲线和阿廷-施莱尔曲线/168
习题/179
5.4 韦依定理/179
习题/189
应用部分
六 组合设计/191
6.1 正交拉丁方/191
习题/205
6.2 区组设计/205
习题/212
6.3 阿达玛方阵/212
习题/218
七 纠错码/219
7.1 纠错码/220
习题/229
7.2 线性码/230
习题/238
7.3 汉明码、多项式码和里德-马勒二元线性码/240
习题/255
7.4 循环码/256
习题/274
八 密码和信息安全/275
8.1 凯撒大帝的密码/277
8.2 M序列与图论――周游世界和一笔画/282
习题/293
8.3 构作M序列(并圈方法)/293
习题/303
8.4 公钥体制/303
8.5 密钥的分配、更换和共享/315
8.6 椭圆曲线算法/329
结束语/339
编写说明/3
引言/5
理论部分
一 来自初等数论的有限域/1
1.1 整除性和同余性/1
习题/14
1.2 P元有限域/15
习题/30
二 一般有限域/31
2.1 域上的多项式环/31
习题/43
2.2 构作一般有限域/43
习题/55
三 有限域上的函数/57
3.1 广义布尔函数/57
习题/61
3.2 幂级数/61
习题/78
3.3 加法特征和乘法特征/79
习题/92
3.4 高斯和与雅可比和/92
习题/104
四 有限域上的几何/106
4.1 有限仿射几何/107
习题/117
4.2 有限射影几何/118
习题/128
4.3 平面仿射曲线和平面射影曲线/128
习题/135
五 有限域中解方程/136
5.1 谢瓦莱-瓦宁定理:解的存在性/136
习题/150
5.2 多元二次方程/150
习题/167
5.3 费马曲线和阿廷-施莱尔曲线/168
习题/179
5.4 韦依定理/179
习题/189
应用部分
六 组合设计/191
6.1 正交拉丁方/191
习题/205
6.2 区组设计/205
习题/212
6.3 阿达玛方阵/212
习题/218
七 纠错码/219
7.1 纠错码/220
习题/229
7.2 线性码/230
习题/238
7.3 汉明码、多项式码和里德-马勒二元线性码/240
习题/255
7.4 循环码/256
习题/274
八 密码和信息安全/275
8.1 凯撒大帝的密码/277
8.2 M序列与图论――周游世界和一笔画/282
习题/293
8.3 构作M序列(并圈方法)/293
习题/303
8.4 公钥体制/303
8.5 密钥的分配、更换和共享/315
8.6 椭圆曲线算法/329
结束语/339
Finite fields and their applications
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