几何原本

【书摘与插画】
命题1
求出已知圆的圆心。
已知圆，作出圆的圆心。
在圆上作任意直线，并作的二等分点【命题1.9】。过作垂直于【命题1.11】。延长与圆交于。作的二等分点【命题1.9】。可证是圆的圆心。
假设不是圆的圆心。设点为圆心，连接、、。因为等于，是公共边，即、分别与、相等。又因为、是半径，所以等于。所以，角等于角【命题1.8】。若两直线相交形成的邻角彼此相等，则这两个角为直角【定义1.10】。所以角是直角。又因为角是直角，所以角等于角，即较大角等于较小角，这是不可能的。所以点不是圆的圆心。同理，我们可以证明任何除以外的点都不是圆心。

综上，点是圆的圆心。
推 论
从上述命题可以得到，如果在一个圆内一条直线把另一条直线平分为两部分且交成直角，则这个圆的圆心在前一直线上。这就是命题1的结论。
命题2
连接圆上任意两点，则连接这两点的直线上的其他点均在圆内。
已知圆，、是圆上任意两点。可证连接后，在圆内。
假设不在圆内，如果这是可能的，假设落在圆外，如（如图所示）。设圆的圆心【命题3.1】为。连接、，画。

因为等于，所以角等于角【命题1.5】。因为在三角形中，是边的延长线，所以角大于角【命题1.16】。又因为角等于角【命题1.5】，所以角大于角。又因为大角对大边【命题1.19】，所以，大于。又因为等于，所以也大于，即较小边大于较大边，这是不可能的。所以，连接的直线不落在圆外。同理，我们可以证明该直线也不落在圆周上。因此，它落在圆内。
综上，连接圆上任意两点的直线在圆内。这就是命题2的结论。
命题3
在一个圆中，过圆心的直线二等分一条不过圆心的直线，那么这两条直线互相垂直；如果过圆心的直线垂直于不过圆心的直线，那么前者二等分后者。
已知圆，直线过圆心且二等分不过圆心的直线于点。可证垂直于。
作圆的圆心【命题3.1】，设圆心为，连接、。
因为等于，是公共边，即（三角形的）两边等于（三角形的）两边，第三边等于。所以角等于角【命题1.8】。当两条直线相交且形成相等的邻角时，则这两个角是直角【定义1.10】。角和角都是直角，所以直线过圆心且二等分不过圆心的直线，两条直线相互垂直。

设垂直于。可证二等分，即等于。
用上述作法作同一个图，因为等于，角等于角【命题1.5】。直角等于直角。所以三角形和是两个角相等且有一条边相等的三角形，是公共边，其所对的角也相等。所以，其他边也都对应相等【命题1.26】。所以，等于。
综上，在一个圆中，过圆心的直线二等分一条不过圆心的直线，那么这两条直线互相垂直；如果过圆心的直线垂直于不过圆心的直线，那么前者二等分后者。这就是命题3的结论。
命题4
在一个圆中，如果两条不过圆心的直线相交，则它们不相互平分。
已知圆，其中有两条不过圆心的直线和交于点。可证它们不互相平分。
假设它们互相二等分，即等于，等于。作圆的圆心【命题3.1】。设圆心为点，连接。

因为过圆心的直线二等分另一条没过圆心的直线，则它们相互垂直【命题3.3】。所以角是直角。又因为也二等分，所以它们也互相垂直【命题3.3】。所以角是直角。但是，角也是直角，所以角等于，即较小角等于较大角，这是不可能的。所以，与不互相平分。
综上，在一个圆中，如果两条不过圆心的直线相交，则它们不互相平分。这就是命题4的结论。
命题5
两圆相交，圆心不同。

已知圆和相交，交点是、。可证它们的圆心不同。
假设两圆圆心相同，设为公共圆心。连接，是穿过两圆的任意直线。因为是圆的圆心，所以等于。又因为点是圆的圆心，所以等于。又因为等于，所以也等于，即小的等于大的，这是不可能的。所以点不是圆和的共同圆心。
综上，若两圆相交，则它们的圆心不同。这就是命题5的结论。
命题6
两圆相切，圆心不同。

已知圆和相切，切点为。可证它们的圆心不同。
假设它们的圆心相同，设为公共圆心，连接，是穿过两圆的任意直线。因为是圆的圆心，所以等于。又因为是圆的圆心，所以等于。因为等于，所以也等于，即小的等于大的，这是不可能的。所以点不是圆和的共同圆心。
综上，若两圆相切，则它们的圆心不同。这就是命题6的结论。

命题7
如果在一个圆的直径上取一个不是圆心的点，在过该点相交于圆的所有线段中，*长的线段是过圆心的那条，*短的是同一直径上剩下的线段。在其他线段中，离圆心近的线段比离得远的长，过该点到圆上只有两条线段相等，且分别在*短线段的两边。


已知在圆中，是直径，在上任取一个非圆心的点。设是圆心。过向圆上作线段、和。可证是*长的线段，*短，其次，大于，大于。
连接、和。因为三角形任意两边之和大于第三边【命题1.20】，所以与的和大于。等于，所以大于。又因为等于，是公共边，即两边、分别等于两边、。但是，角大于角。 所以，底大于【命题1.24】。同理，大于。
又因为和的和大于【命题1.20】，且等于， 和的和大于。同时减去，剩余的大于。所以，*长，*短，大于，大于。
又可证明过点到圆上的线段仅有两条相等，且各在*短线段的两边。以为边，为顶点作角等于角【命题1.23】，连接。因为等于，是公共边，即、分别等于、，且角等于角。所以，底边等于【命题1.4】。又可以证明过点到圆上的线段再无另一条线等于。假设可能有，设是等于的线段。因为等于，等于，所以也等于，靠近圆心的线段等于远离圆心的线段，这是不可能的。所以，过点到圆上的线段再无另一条线段等于。所以，这样的线段只有一条。
综上，如果在一个圆的直径上取一个不是圆心的点，在过该点相交于圆的所有线段中，*长的线段是过圆心的那条，*短的是同一直径上剩下的线段。其他离圆心近的线段比离得远的线段长。过该点到圆上只有两条线段相等，且分别在*短线段的两边。这就是命题7的结论。
命题8
如果在圆外任取一点，过该点作通过圆的线段，其中一条线段过圆心，其他线段都是任意画的，则在凹圆弧上的线段中，过圆心的线段*长。在其他线段中，靠近圆心的线段大于远离的线段。而在凸圆弧上的线段中，在取定的点到直径之间的一条线段*短。在其他线段中，靠近圆心的线段小于远离的线段，且在该点到圆周上的线段中，彼此相等的线段只有两条，它们各在*短线段的一侧。
已知是一个圆，点是圆外任意一点，过作、、和，设过圆心。可证在凹圆弧上的线段中，*长的是过圆心的线段，且大于，大于。在凸圆弧上的线段中，*短的是该点和直径之间的线段，且靠近*短线段的线段小于远离的线段，（即）小于，小于。

设圆的圆心为【命题3.1】。连接、、、、和。
因为等于，各边同时加所以等于与的和。但是，与的和大于【命题1.20】，所以大于。又因为等于，是公共边，即与的和等于与的和。又，角大于角，所以底边大于【命题1.24】。同理，我们可以证明大于，所以是*的，大于，大于。
因为和的和大于【命题1.20】，且等于，所以剩下的大于。这样一来，小于。又因为在三角形中，在一边的上方，有两条直线和相交于三角形内，所以与的和小于与的和【命题1.21】。且等于，所以剩下的小于。同理，我们可以证明小于。所以，是*小的，且小于，小于。
可证在从到圆周的线段中，只有两条线段相等，且各在*短的线段的一边。以上的一点作角等于角【命题1.23】，连接。因为等于，是公共边，即有两边、分别等于、，且角等于角，所以底边等于【命题1.4】。又可证从到圆周的线段中没有其他线段等于。因为如果可能，假设有另外一条线段。因为等于，等于，所以等于，即靠近*短线段的等于远离的，这是不可能的。所以，在从点到圆周的线段中，只有两条线段相等，且各在*短的线段的一侧。
综上，如果在圆外任取一点，过该点作通过圆的线段，其中一条线段过圆心，其他线段都是任意画的，则在凹圆弧上的线段中，过圆心的线段*长。在其他线段中，靠近圆心的线段大于远离的线段。而在凸圆弧上的线段中，在取定的点到直径之间的一条线段*短。在其他线段中，靠近圆心的线段小于远离的线段，且在该点到圆周上的线段中，彼此相等的线段只有两条，它们各在*短线段的一侧。这就是命题8的结论。
命题9
如果在圆内的任意一点到圆周的线段中，有超过两条线段相等，那么这点就是该圆的圆心。
已知圆，是圆内一点，由到圆的圆周的相等线段有、和。可证点是圆的圆心。

连接和，且平分它们于点和【命题1.10】。连接和，使它们经过点、、和。
因为等于，是公共边，两边、分别等于、，且底边等于，所以角等于角【命题1.8】，所以角和角都是直角【定义1.10】，所以平分且垂直于。因为如果在一个圆内一条线段截另一条线段成相等的两部分，且交成直角，则圆心在前一条直线上【命题3.1推论】，即圆心在上。同理，圆的圆心也在上，且和除点以外没有其他公共点，所以点是圆的圆心。
综上，如果在圆内的任意一点到圆周的线段中，有超过两条线段相等，那么这点就是该圆的圆心。这就是命题9的结论。
命题10
一个圆截另一个圆，交点不多于两个。
因为如果可能，设圆截圆的交点多于两个，设为、、和。连接和，且平分它们于和。过和作和分别与和成直角【命题1.11】，并使其分别通过点和。

因为圆中的任意一条弦平分另一条弦，且相交成直角，所以圆的圆心在上【命题3.1 推论】。又因为在同一个圆中，弦平分弦，且相交成直角，所以圆的圆心在上【命题3.1 推论】。已经证得它在上，且和除以外无其他交点。所以，点是圆的圆心。同理，我们可以证明是圆的圆心。所以，圆和相交，有同一个圆心这是不可能的【命题3.5】。
综上，一个圆截另一个圆，交点不多于两个。这就是命题10的结论。

命题11
如果两个圆内切，找到它们的圆心并用线段连接这两个圆心，这条线段的延长线必过两圆的切点。
已知两圆和相互内切于点，且设圆的圆心为【命题3.1】，圆的圆心为【命题3.1】。可证连接的线段的延长线必经过点。
假设连接的线段的延长线不经过，如果这是可能的，设连线为（如图所示），连接和。
因为和的和大于，即大于【命题1.20】，各边同时减去，剩下的大于。且等于，所以也大于，小的大于大的，这是不可能的。所以，连接的直线不会落在的外边。所以，它一定经过两圆的切点。

综上，如果两个圆内切，找到它们的圆心并用线段连接这两个圆心，这条线段的延长线必过两圆的切点。这就是命题11的结论。
命题12
如果两圆外切，则两圆圆心的连线必经过切点。

已知两圆和外切于点，设圆的圆心为【命题3.1】，圆的圆心为【命题3.1】。可证和的连线必过切点。
假设和的连线不经过，如果这是可能的，设它落在上（如图所示），连接和。
因为是圆的圆心，所以等于。又因为点是圆的圆心，所以等于。已经证得等于。因此，直线和的和等于直线和的和，所以整个大于和的和。但是，应该小于它们的和【命题1.20】，这是不可能的。所以，和的连线不可能不过切点，即它必经过。
综上，如果两圆外切，则两圆圆心的连线必经过切点。这就是命题12的结论。

命题13
一个圆与另一个圆无论是内切还是外切，切点不超过一个。

设圆和圆相切——首先设它们内切——切点为和。
设圆的圆心是【命题3.1】，圆的圆心是【命题3.1】。连接，其延长线必过切点、【命题3.11】。设其为。因为点是圆的圆心，等于，所以大于，因此比更大。又因为点是圆的圆心，等于。但已经证得比更大。这是不可能的。因此，一个圆与另一个圆内切，切点不超过一个。
下面要求证明两圆外切时的切点也不会超过一个。
因为如果这是可能的，假设圆和圆外切有不止一个切点，设它们是和。连接。
因为和是圆和圆周上的任意两点，所以连接这两点的线段落在每个圆的圆内【命题3.2】。但是，它落在了的内部、的外部【定义3.3】。这是不可能的。所以，一个圆与另一个圆外切，切点不多于一个，而且已经证明内切时也不可能。
综上，一个圆与另一个圆无论是内切还是外切，切点不超过一个。这就是命题13的结论。