微分几何及其应用

第一章 向量函数
1 向量代数
1-1 基本概念
1-2 向量的代数运算
1-3 一些常用的结论和计算公式
2 直线与平面
3 向量函数
3-1 向量函数的概念
3-2 向量函数的极限
3-3 向量函数的连续性
3-4 向量函数的微商
3-5 向量函数的泰勒公式
3-6 向量函数的积分
4 几种具有特殊性质的向量函数
第二章 曲线的局部理论
1 曲线的基本概念
1-1 曲线的基本概念
1-2 光滑曲线与正则曲线
1-3 曲线的弧长与自然参数
2 曲线的基本三棱形
2-1 曲线的切线与法面
2-2 曲线的密切面与副法线
2-3 曲线的基本三棱形
3 空间曲线论的基本公式
3-1 空间曲线的曲率
3-2 空间曲线的挠率
3-3 空间曲线论的基本公式
3-4 空间曲线在一点邻近的结构
4 空间曲线论基本定理
第三章 特殊曲线
1 平面曲线
2 柱面螺线
3 曲线的渐伸线与渐缩线
3-1 曲线的渐伸线
3-2 曲线的渐缩线
4 贝特朗曲线
第四章 曲面的第一基本形式
1 基本概念
1-1 曲面的定义与方程
1-2 参数变换
1-3 曲面上的曲线
1-4 曲面的切平面和法线
1-5 曲面的定向
2 第一基本形式
2-1 第一基本形式
2-2 曲面上曲线的弧长
2-3 曲面上曲线的交角
2-4 曲面上的正交曲线网
2-5 曲面域的面积、内蕴量和内蕴性
3 曲面间的映射
3-1 映射的概念
3-2 等距映射
3-3 等角映射
第五章 曲面的第二基本形式
1 第二基本形式
2 法曲率
3 杜潘标线 渐近方向 共轭方向 主方向
3-1 杜潘标线
3-2 渐近方向、共轭方向、主方向
3-3 主曲率、高斯曲率、平均曲率
4 曲面上的特殊曲线与曲线网
4-1 渐近曲线、渐近曲线网、共轭曲线网
4-2 曲率线与曲率线网
5 曲面在一点邻近的结构
6 高斯映射与第三基本形式
6-1 高斯映射、第三基本形式
6-2 高斯曲率的几何意义
第六章 曲面论的基本定理
1 曲面的基本公式
2 曲面的基本方程
2-1 曲面基本方程的推导
2-2 高斯曲率的内蕴性质
3 曲面论基本定理的证明
第七章 曲面上的测地线
1 曲面上曲线的测地曲率
1-1 测地曲率的概念
1-2 测地曲率的计算公式
2 曲面上的测地线
2-1 测地线及其性质
2-2 测地线的方程
2-3 曲面上的半测地坐标网
2-4 曲面上测地线的短程性
3 测地挠率
3-1 测地挠率
3-2 曲面曲线的一种动标三棱形
4 曲面上向量的平行移动
4-1 曲面上的向量场与绝对微分
4-2 平行向量场
4-3 向量的平行移动
5 高斯-波涅公式
第八章 特殊曲面
1 可展曲面
1-1 直纹面
1-2 可展曲面及其分类
1-3 可展曲面作为单参数平面族的包络面
1-4 可展曲面的重要定理和有关命题
2 极小曲面
2-1 极小曲面的定义与有关性质
2-2 极小曲面的几何特征
3 具有常高斯曲率的曲面
3-1 常高斯曲率曲面
3-2 伪球率曲面、伪球面
3-3 伪球率曲面上的测地圆
3-4 罗氏几何
第九章 外微分形式与活动标架
1 外形式与外代数
1-1 格拉斯曼外代数
1-2 外微分形式
1-3 发甫方程与可积条件
2 变换群与活动标架
2-1 合同变换与标架
2-2 合同变换群与微分不变式
2-3 相对分量与结构方程
2-4 活动标架基本定理
3 活动标架法的应用
3-1 曲线论基本公式
3-2 曲面的结构方程
3-3 曲面的基本形式
3-4 法曲率与测地曲率
3-5 主曲率与欧拉公式
3-6 向量的平行移动
3-7 高斯-波涅定理
第十章 曲线与曲面的整体性质
1 平面曲线的整体性质
1-1 闭曲线的全曲率
1-2 旋转指标
1-3 等周不等式
1-4 凸曲线
1-5 卵形线
1-6 等宽曲线
1-7 平面直线集的测度与应用
2 空间曲线的整体性质
2-1 定向大圆集的测度
2-2 简单闭曲线的全曲率
2-3 有结曲线的全曲率
2-4 球面闭曲线的全挠率
3 简单曲面与卵形面
3-1 简单曲面与光滑曲面
3-2 定向曲面与紧致曲面
3-3 凸曲面与卵形面
3-4 刚性曲面与 W 曲面
3-5 极小曲面与唯一性问题
4 紧致曲面与示性数
4-1 亏格与示性数
4-2 高斯-波涅定理
4-3 向量场的奇点与指标
4-4 线素场与映射度
第十一章 应用微分几何简介
1 应用曲线论
1-1 向量工具的应用
1-2 数控切割与偏差比较
1-3 发动机缸体的新型线
1-4 变压器铁芯设计
1-5 环状 DNA 分子的勾数与拧数
1-6 曲线的拟合与设计
2 应用曲面论
2-1 蜗杆齿面与斜齿面
2-2 齿轮啮合
2-3 管道交线
2-4 外板展开
2-5 曲面的拟合与设计
习题答案、提示与解答