An Introduction to Riemann Geometry

第一章　准备知识
1 欧氏空间的映射
　 1.1 映射的微分链规则
　 1.2 反函数定理
　 1.3　秩定理
　 1.4　sard定理
2　多重线性代数
2.1 向量空间对偶空间
2.2　张量积张量代数
2.3　对称和反(对)称张量
2.4　外代数
2.5　欧氏向量空间
习题
第二章　微分流形
1　微分流形的基本概念
1.1　微分流形的定义
　 1.2　实射影空间p2(r)grassmann流形
　 1.3　流形的映射
　 1.4　浸入与淹没子流形
　 1.5　单位分解
　 习题
2 向量场
　2.1　切空间切映射
　 2.2　切丛向量场
　 2.3　单参数变换群
　 2.4　分布frobenius定理叶状结构
　习题
3　张量场
3.1 张量场
3.2　外微分
3.3　黎曼度量
习题
4　流形上的积分stokes定理
4.1　流形的定向
4.2　带边界流形
4.3　流形上的积分stokes定理
习题
第三章　联络与曲率
1　仿射联络
1.1　rm及其子流形上的联络
1.2　微分流形上的仿射联络
1.3　仿射联络的挠率和曲率
习题
2　黎曼联络
2.1　黎曼联络
2.2　共变微分
习题
3 曲率
3.1 曲率张量
3.2　截面曲率：ricci曲率纯量曲率
3.3　共形变换
习题
4　调和形式
　 4.1　hodge星算子
　 4.2　laplace—behrami算子
　 4.3　hodge定理及其几何应用
　习题
第四章　测地线
1 测地线与测地完备性
1.1　测地线与指数映射法坐标系
1.2　测地完备性
习题
2　弧长的变分
　 2.1　弧长的变分
　 2.2　jacobi场
　2.3　共轭点
　 习题
3　 曲率与拓扑
　3.1　指标引理：myers定理
……
第五章　黎曼子流形
附录i　常微分方程组存在定理
附录ii　sard定理
附录iii　黎曼淹没
附录iv　广义极大原理
附录v lie群初貌
附录vi　主丛上的联络
附录vii 黎曼流形的收敛性和有限性
附录viii　复流形与复几何初步
附录x ricci流简介
参考文献
索引