复变函数与数学物理方法

第1篇复变函数
第1章复变函数及其导数与积分
1.1引言
1.2复数与复变函数
1.2.1复数
1.2.2复平面
1.2.3复数加法的几何表示
1.2.4复平面上的点集
1.2.5复变函数
1.3复变函数的极限与连续
1.4复球面与无穷远点
1.4.1扩充复平面
1.4.2无穷大极限
1.5解析函数
1.5.1复变函数的导数与微分
1.5.2解析函数的概念及其简单性质
1.5.3柯西—黎曼条件
1.6复变函数的积分
1.6.1复变函数积分的概念与计算
1.6.2复变函数积分的简单性质
1.6.3柯西积分定理及其推广
1.6.4柯西积分公式及其推论
习题1
第2章复变函数的幂级数
2.1复数序列和复数项级数
2.1.1复数序列及其收敛性
2.1.2复数项级数及其收敛性
2.1.3复数项级数的绝对收敛性
2.2复变函数项级数和复变函数序列
2.3幂级数
2.4幂级数和函数的解析性
2.5解析函数的泰勒展开式
2.6解析函数零点的孤立性及唯一性定理
2.7解析函数的洛朗级数展开式
2.7.1洛朗级数
2.7.2解析函数的洛朗展开式
2.7.3洛朗级数与泰勒级数的关系
2.7.4解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展开式
2.8解析函数的孤立奇点及其分类
2.8.1可去奇点
2.8.2极点
2.8.3本性奇点
2.8.4复变函数的零点与极点的关系
2.8.5复变函数在无穷远点的性态
习题2
第3章留数及其应用
3.1留数与留数定理
3.2留数的计算
3.2.1一级极点的情形
3.2.2高级极点的情形
3.3无穷远点处的留数
3.4留数在定积分计算中的应用
3.4.1形如∫2π0R（cosθ，sinθ）dθ的积分
3.4.2形如∫+∞—∞R（x）dx的积分
3.4.3形如∫+∞—∞P（x）／Q（x）eimxdx如的积分
3.5复变函数在物理中的应用简介
3.5.1解析函数的物理解释
3.5.2两种特殊区域上解析函数的实部和虚部的关系泊松积分公式
习题3
第2篇数学物理方法
第4章数学物理方程及其定解条件
4.1数学物理基本方程的建立
4.1.1波动方程
4.1.2热传导方程和扩散方程
4.1.3泊松方程和拉普拉斯方程
4.1.4亥姆霍兹方程
4.2定解条件
4.2.1初始条件
4.2.2边界条件
4.3定解问题的提法
4.4二阶线性偏微分方程的分类与化简解的叠加原理
4.4.1含有两个自变量二阶线性偏微分方程的分类与化简
4.4.2线性偏微分方程的叠加原理
习题4
第5章分离变量法
5.1（1+1）维齐次方程的分离变量法
5.1.1有界弦的自由振动
5.1.2有限长杆上的热传导
5.2二维拉普拉斯方程的定解问题
5.3非齐次方程的解法
5.4非齐次边界条件的处理
习题5
第6章二阶常微分方程的级数解法本征值问题
6.1二阶常微分方程的级数解法
6.1.1常点邻域内的级数解法
6.1.2勒让德方程的级数解
6.1.3正则奇点和非正则奇点附近的级数解
6.1.4贝塞尔方程的级数解
6.2施图姆一刘维尔本征值问题
6.2.1施图姆—刘维尔方程
6.2.2本征值问题的一般提法
6.2.3本征值问题的一般性质
习题6
第7章贝塞尔函数及其应用
7.1贝塞尔方程的引入
7.2贝塞尔函数的性质
7.2.1贝塞尔函数的基本形态及本征值问题
7.2.2贝塞尔函数的递推公式
7.2.3贝塞尔函数的正交性和模方
7.2.4按贝塞尔函数的广义傅里叶级数展开
7.3贝塞尔函数在定解问题中的应用
7.4修正贝塞尔函数
7.4.1第一类修正贝塞尔函数
7.4.2第二类修正贝塞尔函数
7.5可化为贝塞尔方程的方程
7.5.1开尔文方程
7.5.2其他例子
7.5.3含贝塞尔函数的积分
习题7
第8章勒让德多项式及其应用
8.1勒让德方程与勒让德多项式的引入
8.2勒让德多项式的性质
8.2.1勒让德多项式的微分表示
8.2.2勒让德多项式的积分表示
8.2.3勒让德多项式的母函数
8.2.4勒让德多项式的递推公式
8.2.5勒让德多项式的正交归一性
8.2.6按Pn（x）的广义傅里叶级数展开
8.2.7一个重要公式
8.3勒让德多项式的应用
8.4关联勒让德多项式
8.4.1关联勒让德函数的微分表示
8.4.2关联勒让德函数的积分表示
8.4.3关联勒让德函数的正交性与模方
8.4.4按Pml（x）的广义级数展开
8.4.5关联勒让德函数的递推公式
8.5其他特殊函数方程简介
8.5.1埃尔米特多项式
8.5.2拉盖尔多项式
习题8
第9章行波法与积分变换法
9.1一维波动方程的达朗贝尔公式
9.2三维波动方程的泊松公式
9.2.1三维波动方程的球对称解
9.2.2三维波动方程的泊松公式
9.2.3泊松公式的物理意义
9.3傅里叶积分变换法求解定解问题
9.3.1预备知识——傅里叶变换及性质
9.3.2傅里叶变换法
9.4拉普拉斯变换法求解定解问题
9.4.1拉普拉斯变换及其性质
9.4.2拉普拉斯变换法
习题9
第10章格林函数法
10.1引言
10.2δ函数的定义与性质
10.2.1δ函数的定义
10.2.2广义函数的导数
10.2.3δ函数的傅里叶变换
10.2.4高维δ函数
10.3泊松方程的边值问题
10.3.1格林公式
10.3.2解的积分形式——格林函数法
10.3.3格林函数关于源点和场点是对称的
10.4格林函数的一般求法
10.4.1无界区域的格林函数
10.4.2用本征函数展开法求边值问题的格林函数
10.5用电像法求某些特殊区域的狄利克雷—格林函数
10.5.1泊松方程的狄利克雷—格林函数及其物理意义
10.5.2用电像法求格林函数
习题10
附录A正交曲线坐标系中的拉普拉斯算符
附录BΓ函数的定义和基本性质
附录C通过计算留数求拉普拉斯变换的反演
附录D傅里叶变换和拉普拉斯变换简表
参考文献