几何原本

定义Ⅰ 001

公设Ⅰ 002

公理Ⅰ 002

命题Ⅰ.1 002

命题Ⅰ.2 003

命题Ⅰ.3 004

命题Ⅰ.4 004

命题Ⅰ.5 005

命题Ⅰ.6 006

命题Ⅰ.7 006

命题Ⅰ.8 007

命题Ⅰ.9 007

命题Ⅰ.10 008

命题Ⅰ.11 008

命题Ⅰ.12 009

命题Ⅰ.13 009

命题Ⅰ.14 010

命题Ⅰ.15 011

命题Ⅰ.16 011

命题Ⅰ.17 012

命题Ⅰ.18 012

命题Ⅰ.19 013

命题Ⅰ.20 013

命题Ⅰ.21 014

命题Ⅰ.22 015

命题Ⅰ.23 015

命题Ⅰ.24 016

命题Ⅰ.25 017

命题Ⅰ.26 017

命题Ⅰ.27 018

命题Ⅰ.28 019

命题Ⅰ.29 019

命题Ⅰ.30 020

命题Ⅰ.31 021

命题Ⅰ.32 021

命题Ⅰ.33 022

命题Ⅰ.34 022

命题Ⅰ.35 023

命题Ⅰ.36 024

命题Ⅰ.37 024

命题Ⅰ.38 025

命题Ⅰ.39 025

命题Ⅰ.40 026

命题Ⅰ.41 026

命题Ⅰ.42 027

命题Ⅰ.43 028

命题Ⅰ.44 028

命题Ⅰ.45 029

命题Ⅰ.46 030

命题Ⅰ.47 031

命题Ⅰ.48 032

第2章　几何与代数

定义Ⅱ 034

命题Ⅱ.1 034

命题Ⅱ.2 035

命题Ⅱ.3 035

命题Ⅱ.4 036

命题Ⅱ.5 037

命题Ⅱ.6 038

命题Ⅱ.7 038

命题Ⅱ.8 039

命题Ⅱ.9 040

命题Ⅱ.10 042

命题Ⅱ.11 043

命题Ⅱ.12 044

命题Ⅱ.13 045

命题Ⅱ.14 046

第3章　圆与角

定义Ⅲ 047

命题Ⅲ.1 047

命题Ⅲ.2 048

命题Ⅲ.3 049

命题Ⅲ.4 049

命题Ⅲ.5 050

命题Ⅲ.6 050

命题Ⅲ.7 051

命题Ⅲ.8 052

命题Ⅲ.9 053

命题Ⅲ.10 054

命题Ⅲ.24 062

命题Ⅲ.25 063

命题Ⅲ.26 064

命题Ⅲ.33 068

命题Ⅲ.34 070

命题Ⅲ.35 071

命题Ⅲ.36 072

命题Ⅲ.37 073

第4章　圆与正多边形

定义Ⅳ 075

命题Ⅳ.1 075

命题Ⅳ.2 076

命题Ⅳ.3 076

命题Ⅳ.4 077

命题Ⅳ.5 078

命题Ⅳ.14 087

命题Ⅳ.15 088

命题Ⅳ.16 089

第5章　比　例

定义Ⅴ 090

命题Ⅴ.1 091

命题Ⅴ.2 091

命题Ⅴ.3 092

命题Ⅴ.4 093

命题Ⅴ.5 094

命题Ⅴ.6 095

命题Ⅴ.13 101

命题Ⅴ.14 102

命题Ⅴ.15 103

命题Ⅴ.16 103

命题Ⅴ.22 109

命题Ⅴ.23 110

命题Ⅴ.24 111

命题Ⅴ.25 112

第6章　相　似

定义Ⅵ 113

命题Ⅵ.1 113

命题Ⅵ.2 114

命题Ⅵ.3 115

命题Ⅵ.8 120

命题Ⅵ.9 121

命题Ⅵ.10 122

命题Ⅵ.11 123

命题Ⅵ.12 123

命题Ⅵ.13 124

命题Ⅵ.14 124

命题Ⅵ.23 134

命题Ⅵ.28 138

命题Ⅵ.29 140

命题Ⅵ.30 141

命题Ⅵ.31 142

命题Ⅵ.32 143

命题Ⅵ.33 144

第7章　数论[一]

定义Ⅶ 145

命题Ⅶ.1 146

命题Ⅶ.2 146

命题Ⅶ.3 148

命题Ⅶ.4 149

命题Ⅶ.12 156

命题Ⅶ.13 156

命题Ⅶ.14 157

命题Ⅶ.19 160

命题Ⅶ.20 161

命题Ⅶ.21 161

命题Ⅶ.22 162

命题Ⅶ.32 168

命题Ⅶ.33 169

命题Ⅶ.34 170

命题Ⅶ.35 172

命题Ⅶ.36 172

命题Ⅶ.37 173

命题Ⅶ.38 174

命题Ⅶ.39 174

第8章　数论[二]

命题Ⅷ.1 176

命题Ⅷ.2 177

命题Ⅷ.24 197

命题Ⅷ.25 198

命题Ⅷ.26 198

命题Ⅷ.27 199

第9章　数论[三]

命题Ⅸ.1 200

命题Ⅸ.2 200

命题Ⅸ.3 201

命题Ⅸ.4 202

命题Ⅸ.5 203

命题Ⅸ.6 203

命题Ⅸ.14 212

命题Ⅸ.30 221

命题Ⅸ.31 222

命题Ⅸ.32 223

命题Ⅸ.33 223

命题Ⅸ.34 224

命题Ⅸ.35 224

命题Ⅸ.36 225

第10章　无理量

定义Ⅹ 228

命题Ⅹ.1 229

命题Ⅹ.2 230

命题Ⅹ.3 231

命题Ⅹ.4 232

命题Ⅹ.5 233

命题Ⅹ.27 254

命题Ⅹ.28 254

命题Ⅹ.29 257

命题Ⅹ.30 258

命题Ⅹ.37 266

命题Ⅹ.38 266

命题Ⅹ.39 267

命题Ⅹ.40 268

命题Ⅹ.50 277

命题Ⅹ.51 278

命题Ⅹ.59 289

命题Ⅹ.60 290

命题Ⅹ.61 292

命题Ⅹ.67 299

命题Ⅹ.68 300

命题Ⅹ.74 307

命题Ⅹ.75 308

命题Ⅹ.76 309

命题Ⅹ.77 310

命题Ⅹ.78 311

命题Ⅹ.79 312

命题Ⅹ.80 312

命题Ⅹ.81 313

命题Ⅹ.82 315

命题Ⅹ.83 315

命题Ⅹ.84 316

命题Ⅹ.85 317

命题Ⅹ.86 318

命题Ⅹ.87 319

命题Ⅹ.88 321

命题Ⅹ.89 322

命题Ⅹ.90 323

命题Ⅹ.91 324

命题Ⅹ.92 327

命题Ⅹ.93 328

命题Ⅹ.94 331

命题Ⅹ.95 332

命题Ⅹ.102 344

命题Ⅹ.103 345

命题Ⅹ.104 346

命题Ⅹ.105 347

命题Ⅹ.106 348

命题Ⅹ.112 354

命题Ⅹ.113 356

命题Ⅹ.114 358

命题Ⅹ.115 359

第11章　立体几何

定义Ⅺ 360

命题Ⅺ.1 361

命题Ⅺ.2 362

命题Ⅺ.3 362

命题Ⅺ.4 363

命题Ⅺ.5 364

命题Ⅺ.6 365

命题Ⅺ.7 366

命题Ⅺ.8 366

命题Ⅺ.9 368

命题Ⅺ.10 368

命题Ⅺ.11 369

命题Ⅺ.12 370

命题Ⅺ.13 370

命题Ⅺ.14 371

命题Ⅺ.15 372

命题Ⅺ.16 373

命题Ⅺ.24 381

命题Ⅺ.25 382

命题Ⅺ.26 383

命题Ⅺ.27 384

命题Ⅺ.28 385

命题Ⅺ.29 386

命题Ⅺ.30 387

命题Ⅺ.31 387

命题Ⅺ.32 389

命题Ⅺ.33 390

命题Ⅺ.34 391

命题Ⅺ.35 394

命题Ⅺ.36 396

命题Ⅺ.37 397

命题Ⅺ.38 398

命题Ⅺ.39 399

第12章　立体的测量

命题Ⅻ.1 400

命题Ⅻ.2 401

命题Ⅻ.3 403

命题Ⅻ.4 405

命题Ⅻ.5 407

命题Ⅻ.6 409

命题Ⅻ.7 410

命题Ⅻ.8 411

命题Ⅻ.16 425

命题Ⅻ.17 425

命题Ⅻ.18 429

第13章　建正多面体

命题.1 431

命题.2 432

命题.3 433

命题.4 434

命题.5 435

命题.6 436

命题.7 437

命题.8 438

命题.9 439

命题.10 440

命题.16 450

命题.17 453

命题.18 457

第1章　几何基础

定义Ⅰ

定义Ⅰ.1　点：不能分成其他部分的。

定义Ⅰ.2　线：只有长度而没有宽度。

定义Ⅰ.3　线：不一定是直线，两端是点。

定义Ⅰ.4　直线：无数个点沿着一定方向组成的线。

定义Ⅰ.5　面：只有长度和宽度。

定义Ⅰ.6　面的边缘是线。

定义Ⅰ.7　平面：由无数直线平放着的面。

定义Ⅰ.8　平面角：一平面内且不在一条直线上的两条线相交时的倾斜度。

定义Ⅰ.9　直线角：包含角的两条线都是直线的角。

定义Ⅰ.10　线的垂直：两条直线相互交成的邻角彼此相等时，这些角的每一个角被叫作直角，且称一条直线垂直于另一条直线。

定义Ⅰ.11　钝角：大于直角的角。

定义Ⅰ.12　锐角：小于直角的角。

定义Ⅰ.13　边界：是指物体的边缘。

定义Ⅰ.14　图形：由一个边界或几个边界所围成的形状。

定义Ⅰ.15　圆：由一条线包围成的平面图形，其内有一点至这条线上的点的距离都相等。

定义Ⅰ.16　圆心：圆中到圆上所有点的距离相等的点。

定义Ⅰ.17　直径：任一条经过圆心的直线在圆内截得的线段，它把圆等分成两半。

定义Ⅰ.18　半圆：由直径把圆等分成两半中的其中一半，且半圆的心和整圆的心相同。

定义Ⅰ.19　直线形：由直线围成的图形；三角形：由三条直线围成的；四边形：由四条直线围成的；多边形：由四条以上直线围成的。

定义Ⅰ.20　等边三角形：三条边都相等的三角形；等腰三角形：只有两条边相等的三角形；不等边三角形：三条边都不相等的三角形。

定义Ⅰ.21　直角三角形：有一个角是直角的三角形；钝角三角形：有一个角是钝角的三角形；锐角三角形：三个角是锐角的三角形。

定义Ⅰ.22　正方形：四条边都相等且四个角全是直角的四边形；长方形：四个角都是直角的四边形；菱形：四条边相等的四边形；平行四边形：对角相等且对边也相等的四边形；不规则四边形：除正方形、长方形、菱形和平行四边形之外的四边形。

定义Ⅰ.23　平行的直线：在同一平面内的向两个方向无限延长，且永远不会相交的直线。

公设Ⅰ

公设Ⅰ.1　任意两个点之间可以穿过一条直线。

公设Ⅰ.2　直线可以无限延伸。

公设Ⅰ.3　以任意点为圆心及至任意的距离[半径]，可以画圆。

公设Ⅰ.4　所有的直角都是彼此相等的。

公设Ⅰ.5　同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这一直线经无限延伸后在这一侧相交。

公理Ⅰ

公理Ⅰ.1　等于同量的量彼此相等。

公理Ⅰ.2　等量加等量，其和仍相等。

公理Ⅰ.3　等量减等量，其差仍相等。

公理Ⅰ.4　彼此能重合的物体是全等的。

公理Ⅰ.5　整体大于部分。

命题Ⅰ.1

在一个已知线段上可以作一个等边三角形。

设，AB是已知的线段。

求证：在线段AB上可以作一个等边三角形。

证明：先以A点为圆心，并以AB为半径画圆BCD　[公设Ⅰ.3]。

接着以B点为圆心，且以BA为半径画圆ACE　[公设Ⅰ.3]。

再画由两圆的交点C到A、B的连线，即CA、CB　[公设Ⅰ.1]。

因为，点A是圆CDB的圆心，AC=AB　[定义Ⅰ.15]。

又点B是圆CAE的圆心，BC=BA　[定义Ⅰ.15]。

但是，已证明了CA等于AB；所以线段CA、CB都等于AB，而且等于同量的量彼此相等　[公理Ⅰ.1]。

即三条线段：CA=AB=BC，

所以，△ABC是等边三角形，即在已知线段AB上作出了这个三角形。

命题Ⅰ.2

将一个已知的点设为端点，可以作一线段等于已知的线段。

设，已知点A和线段BC。

求证：以点A为端点，可以作一线段等于已知的线段BC。

证明：连接A、B两点，组成线段AB　[公设Ⅰ.1]。

将AB作为底边，作等边三角形DAB　[命题Ⅰ.1]。

将DA、DB延长，得直线AE、BF　[公设Ⅰ.1]。

画以B为圆心，BC为半径的圆CGH　[公设Ⅰ.3]。

接着画以D为圆心，DG为半径的圆GKL　[公设Ⅰ.3]。

因BC、BG都是圆CGH的半径，故BC=BG　[定义Ⅰ.15]。

又因DL、DG都是圆GKL的半径，故DL=DG　[定义Ⅰ.15]。

由等边三角形DAB，可知DA=DB，所以AL=BG　[公理Ⅰ.3]。

前已证明BC=BG，故AL=BC　[公理Ⅰ.1]。

即，线段AL就以已知点A为端点且和已知线段BC相等。

命题Ⅰ.3

已知两条不相等的线段，可以从大边上截取一条线段使之等于另外一条线段。

设，两条不相等的线段AB和C，且线段AB大于线段C。

求证：从线段AB上可以截取线段等于线段C。

证明：过点A作AD，使线段AD等于线段C　[命题Ⅰ.2]。画以A为圆心，AD为半径的圆DEF　[公设Ⅰ.3]。

因为，A是圆DEF的圆心，故AE=AD　[定义Ⅰ.5]。

因为，C=AD，又因已证AE=AD，故AE=C。

所以，已知两条不相等线段AB、C，可以从大边AB上作出等于C的线段AE。

命题Ⅰ.4

若两个三角形的两边分别相等，且两边所夹的角也相等，那么，这两个三角形的第三条边也相等，且两个三角形全等，各边所对应的角也相等。

设：已知两个三角形ABC、DEF，AB=DE，AC=DF，且角BAC=角EDF。

求证：三角形ABC与三角形DEF全等，它们对应的边、角都相等，即角ABC等于角DEF，且角ACB等于角DFE；两底边相等，即BC=EF。

证明：将三角形ABC移至三角形DEF上，点A落在点D上，线段AB落在线段DE上，因为，这两条线段相等，说明点B和点E重合。

又因为，AB与DE重合，角BAC等于角EDF，故线段AC也与DF重合。

因为，AC=DF，故点C也与点F重合。

假设B与E重合，C与F重合，而底BC不与底EF重合，则两条直线就围成一块空间，这是不可能成立的，

所以，底BC就与EF重合，二者相等　[公理Ⅰ.4]。

所以，三角形ABC与三角形DEF重合，它们对应的边、角都相等，即角ABC等于角DEF，且角ACB等于角DFE。

命题Ⅰ.5

等腰三角形的两个底角彼此相等，两腰若向下延长，则在底以下的两个角也彼此相等。

设：等腰三角形ABC，AB=AC，且延长AB、AC成直线BD、CE　[公设Ⅰ.2]。

求证：角ABC和角ACB，以及角CBD和角BCE分别相等。

证明：在BD上任取一点F，且在AE也取一点G，使AG=AF　[命题Ⅰ.3]。

分别连接FC、GB　[公设Ⅰ.1]。

因AF=AG，AB=AC，且它们包含着公共角FAG，

所以，底FC和底GB相等，且三角形AFC和三角形AGB全等，其余的对应角也分别相等，即相等的边所对的角，也就是角ACF等于角ABG，角AFC等于角AGB　[命题Ⅰ.4]。

又因为，AF=AG，且AB=AC，则BF=CG　[公理Ⅰ.3]。

FC=GB前面已证明；所以，两边BF=CG，FC=GB，且角BFC等于角CGB。这里的底BC是公用的；所以，三角形BFC和三角形CGB也是全等的；

又因为，其余的角也分别相等，即等边所对的角。

所以，角FBC等于角GCB，且角BCF等于角CBG。

由以上已经证明了整个角ABG等于角ACF，且角CBG等于角BCF，其余的角ABC等于其余的角ACB　[公理Ⅰ.3]。

又因为它们都在三角形ABC的底边以上。

从而，角FBC和角GCB相等，且它们都在三角形的底边以下。

命题Ⅰ.15

同一平面内的两条相交直线的对顶角相等。

设，直线AB和直线CD相交于点E，

求证：角AEC等于角DEB，且角CEB等于角AED。

证明：因为，射线AE在直线CD上侧，所构成有角CEA、AED；角CEA、AED的和等于二直角　[命题Ⅰ.13]。

又因为，射线CE在直线AB上侧，所构成的角AEC、CEB；角AEC、CEB的和也等于二直角　[命题Ⅰ.13]。

前面有关内容已经证明了角CEA、AED的和等于二直角的和。

故角CEA、AED的和等于角AEC、CEB的和　[公设Ⅰ.4和公理Ⅰ.1]。

等式两边各减去角AEC，则角DEA等于角BEC　[公理Ⅰ.3]。

同理，可证明角CEA也等于角DEB。

推论

若两条直线相交，则在交点处所有的角的和等于四直角的和。

命题Ⅰ.16

延长三角形的任意一边，则形成的外角大于三角形的任何一个内对角。

设，延长三角形ABC的边BC到点D。

求证：外角ACD分别大于内角CBA、BAC。

证明：设点E二等分AC　[命题Ⅰ.10]。

连接BE并延长至点F，使EF=BE　[命题Ⅰ.3]。

连接F、C两点　[公设Ⅰ.1]。

那么，因为AE=EC，BE=EF。

又因为，角AEB等于角FEC　[命题Ⅰ.15]。

所以，底AB等于底FC，且三角形ABE全等于三角形CFE，其他相对应的角也彼此相等，即等边所对的角　[命题Ⅰ.4]。

所以，角BAE和角ECF相等。

因为，角ECD大于角ECF　[公理Ⅰ.5]。

所以，角ACD大于角BAE。

同理，并延长AC至G　[公设Ⅰ.2]。同理可证角BCG大于角ABC，又由于角BCG等于角ACD　[命题Ⅰ.15]。

即可证明角BCG大于角ABC。

命题Ⅰ.17

在三角形中，任意两个角的和小于180°。

设，三角形ABC。

求证：三角形ABC的任意两个角的和小于平角。

证明：将BC延长至D　[公设Ⅰ.2]。

角ACD是三角形ABC的外角，它大于内对角ABC。把角ACB加在它们各边，则角ACD、ACB的和大于角ABC、BCA的和。

而角ACD、ACB的和等于两直角的和　[命题Ⅰ.13]。

所以，角ABC、BCA的和小于二直角。

同理，也可以证明角BAC、ACB的和也小于二直角；角CAB、ABC的和也是这样。

命题Ⅰ.18

在三角形中，大边总是对大角。

设，三角形ABC，边AC大于边AB。

求证：角ABC大于角BCA。

证明：因为，AC大于AB，在AC上取AD=AB　[命题Ⅰ.3]。

连接BD，那么，因为角ADB是三角形BDC的外角，它大于内对角DCB　[命题Ⅰ.16]。

因为，等腰三角形ABD，

所以，角ADB等于角ABD，

又因为，角ABC大于角ABD，

所以，角ABC大于角ADB，又因为角ADB大于角DCB，即ACB。

所以，角ABC大于ACB。

命题Ⅰ.19

三角形中的大角总是对大边。

设，三角形ABC，角ABC大于角BCA。

求证：边AC大于边AB。

证明：先假设边AC不大于边AB，即AC等于或小于AB。在这个基础上，设AC=AB；所以，角ABC等于角ACB，这显然是不行的，和已知相矛盾　[命题Ⅰ.5]。

所以，AC不等于AB。

如果AC小于AB，则角ABC小于角ACB　[命题Ⅰ.18]。

这显然是不行的。

所以，AC不小于AB。

综合这两个条件，即可知AC大于AB。

命题Ⅰ.20

三角形的任意两边之和总大于第三边。

设，三角形ABC。

求证：任意两边之和大于第三边。即BA、AC之和大于BC，

AB、BC之和大于AC，BC、CA之和大于AB。

证明：延长BA至D，使DA=CA，连接DC。

因为，DA=AC，角ADC等于角ACD　[命题Ⅰ.5]。

所以，角BCD大于角ADC　[公理Ⅰ.5]。

因为三角形DCB中，角BCD大于角ADC，且较大角所对的边较大　[命题Ⅰ.19]。

所以，DB大于BC。

又因为，DA=AC，

所以，BA、AC的和大于BC。

同理，也可以证明AB、BC的和也大于CA；BC、CA的和也大于AB。