现代数学基础教程[电子资源.图书]

第一章 预备知识

第一节 集合与映射

1.1 集合基本概念

1.2 集合的运算

1.3 映射

1.4 集合的对等

习题

第二节 实数集的紧性理论

2.1 集合的确界概念

2.2 确界公理

2.3 实数集的列紧性

2.4 实数集的完备性

2.5 有限覆盖定理

习题

第三节 连续函数集c0[a,b]的基本性质

3.1 函数的一致连续性

3.2 函数列的一致收敛性

习题

第二章 代数基本概念简介

第一节群与子群

.1.1 代数运算

1.2 群与半群

1.3 群的例子

1.4 交换群

1.5 群的简单性质

1.6 子群

1.7 群的同构

习题

第二节环与域

2.1 环

2.2 环的简单性质

2.3 域

2.4 子环

2.5 环的同构

习题

第三章 lebesque测度与积分

第一节 lebesque测度

1.1 lebesque外测度

1.2 lebesque内测度

1.3 lebesque测度

1.4 零测集

习题

第二节 lebesque---可测函数

2.1 可测函数

2.2 可测函数的性质

习题

第三节 lebesque积分

3.1 lebesque积分的定义

3.2 lebesque积分的性质

3.3 无界函数的lebesque积分

习题

第四章 距离空间

第一节 距离空间基本概念

1.1 距离空间

1.2 某些赋距离空间举例

1.3 极限概念

1.4 连续映射

1.5 保距映射，保距同构

习题

第二节 赋范线性空间

2.1 线性空间

2.2 赋范线性空间

2.3 依范数收敛

习题

第三节 距离空间中的点集

3.1 内点，开集

3.2 聚点(极限点)

3.3 点集间距离

3.4 开映射

3.5 稠密集

3.6 可析集

习题

第四节完备性

4.1 cauchy基本列

4.2 banach空间

习题

第五节 lpl空间

5.1 holder不等式

5.2 minkowski不等式

5.3 lp空间

5.4 if一空间

第六节 不动点定理及应用

6.1 不动点定理

6.2 由二元函数表示的隐函数存在定理

6.3 行和判据法

6.4 非线性微分方程解的存在性

习题

第五章 点集拓扑学初步

第一节 拓扑空间基本概念

1.1 拓扑空间

1.2 邻域

1.3 闭集

习题

第二节 连续映射和同胚

2.1 连续映射

2.2 同胚

2.3 拓扑空间中的序列

习题

第六章 hilbert空间

第一节 基本概念

1.1 内积空间

1.2 平行四边形公式

1.3 hi]bert空间

习题

第二节 正交化

2.1 正交与正交集

2.2 bessel不等式

2.3 parseval等式

2.4 正交化

2.5 几个正交规范基的例子

习题

第三节 hilbert空间中的最佳逼近

3.1 投影定理

3.2 最小二乘法

习题

第七章 线性算子与线性泛函

第一节 线性算子基本概念

1.1 线性算子

1.2 有界线性算子

1.3 有界线性算予空间

1.4 赋范线性空间的共轭空间

1.5 弱收敛与弱。收敛

习题

第二节 riesz定理

习题

第三节 闭图像定理

习题

第四节 共鸣定理

习题

第五节 赋范空间中线性算子的谱论初步

5.1 特征值问题

5.2 算子的谱

5.3 hilbert空间中自共轭紧算子的谱

习题

第八章 非线性分析基本概念

第一节 非线性映像的微分

1.1 frechet导算子

1.2 crateaux微分

1.3 frechet导数的连锁规则

习题

第二节 抽象函数的积分

2.1 抽象函数的riemann积分

2.2 抽象函数riemann积分的性质

2.3 newton-leibiniz公式

习题

第三节 隐函数存在定理

3.1 偏导算子

3.2 隐函数存在定理

3.3 反函数存在定理

习题

第四节 变分方法

4.1 泛函的局部极小问题

4.2 palais-smale条件及变分原理

第五节 sobolev空间

5.1 l [a，b]

5.2 cm[a，b]空间

5.3 c [a，b]空间

5.4 wm,p[a,b]空间

参考文献