目录
1.1.7 关于中等教育
5.2.6 几何方法
5.2.7 高斯的复整数
5.2.8 类数问题
5.2.9 高斯复整数法
5.3 与勾股定理有关的问题
5.3.1 已知x边求本原三角形
5.3.2 已知y边求本原三角形
5.3.3 已知z边求本原三角形
习题
5.4 费马大定理
第二章 数系
5.4.1 费马和费马大定理
5.4.2 无穷递降法
5.4.3 n=4的费马定理
5.4.4 n=3的情形
5.4.5 初等方法的结束
5.4.6 热尔曼的贡献
5.4.7 库默尔的工作和理想数
5.4.8 从丢番图到维尔斯
5.4.9 费马大定理的推广
第六章 欧氏几何回顾
2.1 无理数的诞生
6.1 欧几里得几何
6.1.1 欧氏几何的诞生
6.1.2 《几何原本》的历史背景
6.1.3 欧氏几何的内容
6.1.4 欧氏几何的优缺点
6.1.5 欧氏几何的历史地位
6.1.6 几何学在中学数学教育中的地位
6.2 尺规作图问题
6.2.1 几何三大难题
6.2.2 用尺规可作什么图
2.1.1 自然数
6.2.3 有理数域的扩张
6.2.4 一般讨论
6.2.5 代数知识
6.2.6 三大难题的解
习题
6.3 正多边形作图
6.4 平行公设引起的思考
6.4.1 从《几何原本》诞生到18世纪
6.4.2 非欧几何的孕育时期
6.4.3 非欧几里得几何的诞生
2.1.2 代数结构的出现
6.4.4 罗巴切夫斯基的解答
6.4.5 非欧几何的相容性
6.4.6 黎曼的非欧几何
6.4.7 欧氏几何与非欧几何
6.4.8 爱尔兰根纲领
6.4.9 各种几何与物理空间
第七章 同余理论及其应用
7.1 同余式的性质
7.1.1 同余的定义
7.1.2 同余式的基本性质
2.1.3 逆运算的作用
7.1.3 同余式的四则运算
7.1.4 同余式的方幂
7.1.5 检查因数的方法
7.1.6 弃九法（验算整数计算结果的方法）
7.1.7 剩余类与完全剩余系
习题
7.2 中国剩余定理
7.2.1 同余式
7.2.2 中国剩余定理
7.2.3 程大位的口诀
2.1.4 有理数的稠密性
习题
7.3 费马小定理和欧拉定理
7.3.1 费马小定理
7.3.2 简化剩余系与欧拉函数
7.3.3 欧拉定理
7.3.4 对循环小数的应用
习题
7.4 同余式的应用
7.4.1 在密码学上的应用
7.4.2 素数鉴别
2.1.5 有理数域
7.4.3 星期数
7.4.4 公式的证明
7.4.5 循环程序排列
习题
第八章 分形与混沌
8.1 漫游分形
8.1.1 引言
8.1.2 海岸线的长度
8.1.3 科克曲线
8.1.4 皮亚诺曲线
2.1.6 第一次数学危机
8.1.5 分数维
8.1.6 几种基本的规则分形
8.1.7 自然界中的分形
8.2 奇妙的混沌
8.2.1 混沌的定义
8.2.2 混沌的发现
8.2.3 蝴蝶效应
8.2.4 线性与非线性
8.2.5 函数的迭代
8.2.6 人口模型
2.1.7 历史意义
8.2.7 逻辑斯蒂映射
8.2.8 茹利亚集
8.2.9 芒德布罗集
第九章 一笔画和邮递路线问题
9.1.1 问题的提出
9.1.2 一笔画问题
9.1.3 哥尼斯堡七桥问题
9.1.4 网络
9.1.5 一笔画定理
9.1.6 多笔画
前言
2.1.8 第一次数学危机的消除
9.1.7 偶网络
9.1.8 再论邮递路线问题
9.1.9 奇偶点网上作业法
9.1.10 什么是拓扑学
9.1.11 欧拉公式
9.1.12 四色问题
9.1.13 争论与困惑
习题
第十章 代数方程式
10.1 三次方程与四次方程
2.1.9 层次
10.1.1 什么是代数
10.1.2 二次方程
10.1.3 韦达公式
10.1.4 三次方程
10.1.5 实系数的三次方程
10.1.6 卡尔达诺公式小史
10.1.7 三次方程解法总结
10.1.8 四次方程
10.1.9 五次以上的代数方程
习题
2.1.10 反证法
10.2 代数基本定理
10.2.1 引言
10.2.2 代数基本定理的证明
10.3 多项式的根的分布问题
10.3.1 多项式的单根和重根
10.3.2 罗尔定理和它的推论
10.3.3 笛卡儿符号定则
10.3.4 辐角原理
10.4 实根的近似计算法
10.4.1 二分法
习题
10.4.2 插值法
10.4.3 牛顿法
习题
第十一章 双曲几何的庞加莱模型
11.1 球极平面投影
11.1.1 直线与圆的复数形式
11.1.2 复数的球面表示
11.1.3 球极投影的公式
11.1.4 球极投影的基本性质
11.2 分式线性变换
2.2 无限的比较
11.2.1 线性变换
11.2.2 反演变换
11.2.3 倒数变换
11.2.4 分式线性变换
11.2.5 保角性
11.2.6 单位圆到自身的分式线性变换
习题
11.3 非欧几何的庞加莱模型
11.3.1 非欧平面
11.3.2 非欧刚体运动
2.2.1 一段富有启发性的历史对话
11.3.3 罗巴切夫斯基公理系统
11.3.4 三角形内角和小于180°
11.3.5 真理性讨论
第十二章 微积分前期史
12.1 积分学的早期史
12.1.1 欧多克索斯的穷竭法
12.1.2 阿基米德的平衡法
12.1.3 不可分素方法
12.1.4 不可分素方法的进一步发展
12.1.5 刘徽的贡献
2.2.2 对谈话的分析和解答
12.1.6 祖暅原理
12.2 微分学的早期史
12.2.1 费马以前的工作
12.2.2 费马求极大、极小值的方法
12.2.3 费马求切线的方法
12.2.4 费马在积分学方面的贡献
12.2.5 巴罗的贡献
12.2.6 前期史小结
12.3 牛顿和莱布尼兹
12.4 光辉的诞生
2.2.3 有理数集是可数的
第十三章 实数理论
13.1 第二次数学危机
13.1.1 英雄世纪
13.1.2 第二次数学危机
13.1.3 柯西的功绩
13.1.4 魏尔斯特拉斯的规划
13.2 实数集合的基本性质
13.2.1 从有理数谈起
13.2.2 戴德金分划
13.2.3 实数的性质
2.2.4 实数集是不可数的
13.2.4 实数集合的有序化
13.2.5 实数集合的连续性
13.2.6 确界的存在定理
习题
13.3 实数的四则运算
13.3.1 实数和的定义
13.3.2 对称数
13.3.3 实数减法的定义
13.3.4 实数的绝对值
13.3.5 实数的积的定义
2.2.5 代数数
13.3.6 实数的商的定义
13.4 根的存在性
13.4.1 具有有理指数的乘幂
13.4.2 任何实指数的乘幂
习题
第十四章 极限、连续与积分
14.1 极限论
14.1.1 单调序列
14.1.2 区间套定理
14.1.3 收敛原理
第一章 数学与人类文明
2.2.6 无限的算术
14.1.4 有限覆盖定理
14.1.5 极限思想辩证剖析
14.1.6 函数的极限
14.1.7 小结
14.2 函数的连续性
14.2.1 中间值定理
14.2.2 函数的最大、最小值定理
14.2.3 一致连续性
14.3.1 黎曼积分
14.3 黎曼积分
2.2.7 结语
14.3.2 达布和
14.3.3 达布和的性质
14.3.4 积分存在的条件
14.3.5 可积函数类
第十五章 数学模型
15.1 选票分配
15.1.1 何谓悖论
15.1.2 选举悖论
15.1.3 选票分配问题
15.1.4 亚拉巴马悖论
习题
15.2 体育训练问题
15.3 指数增长与衰减问题
15.3.1 一个简单的微分方程
15.3.2 人口模型
15.3.3 再论人口模型
15.3.4 三论人口模型
习题
15.3.5 新产品销售模型
15.3.6 牛顿冷却定律
15.4 在考古学中的应用
2.3 复数
15.4.1 放射性年龄测定法
15.4.2 范·米格伦伪造名画案
小结
习题
第十六章 外微分形式
16.1.1 场论的三个基本公式
16.1.2 曲面的定向
16.1.3 外乘积
16.1.4 微分形式和它的外微分
16.1.5 在场论中的应用
2.3.1 复数的引进
习题
第十七章 数学的真理性
17.1.1 数学的证明和科学的证明
17.1.2 数学的公理化
17.1.3 天衣有缝
17.1.4 希尔伯特和他的23个问题
17.1.5 罗素的悖论和第三次数学危机
17.1.6 20世纪初的一场大辩论
17.1.7 哥德尔的不完全性定理
答案与提示
2.3.2 复数的几何表示
参考文献
2.3.3 复数的三角表示和指数表示
2.3.4 复数域
2.3.5 乘方与开方
2.3.6 单位根
1.1.1 数学的内容
2.3.7 复数的确认
习题
第三章 连分数及其在天文学上的应用
3.1 从祖冲之的圆周率谈起
3.1.1 辗转相除法
3.1.2 祖冲之的约率22/7和密率355/113
3.1.3 连分数
3.1.4 约率和密率的内在意义
习题
3.2 连分数在天文学上的应用
1.1.2 数学的特点
3.2.1 为什么四年一闰，而百年又少一闰
3.2.2 公历的改革
3.2.3 农历的月大月小、闰年闰月
3.2.4 二十四节气
3.2.5 闰月放在哪儿
3.2.6 日月食
3.2.7 日月合璧，五星联珠，七曜同宫
3.2.8 干支记年
3.3 连分数的性质
3.3.1 渐近分数的性质
1.1.3 数学对人类文明的贡献
3.3.2 渐近分数的表达式
3.3.3 渐近分数的极限
3.3.4 连分数的几何解释
3.3.5 最佳逼近
3.3.6 方程x2=ax+1的解
3.3.7 斐波那契级数
第四章 素数定理与哥德巴赫猜想
4.1 初等数论初步
4.1.1 数论是什么
4.1.2 数论的一个特点：表面简单，实际难
1.1.4 数学发展简史
4.1.3 素数与合数
4.1.4 素数表
4.1.5 算术基本定理
4.1.6 另一种“算术”
4.1.7 最大公因数
4.1.8 函数[x]，|x|
4.1.9 费马素数
4.1.10 完全数与梅森数
4.1.11 高斯的功绩
习题
1.1.5 现代数学发展的新趋向
4.2 素数定理与哥德巴赫猜想
4.2.1 素数定理
4.2.2 哥德巴赫猜想
4.2.3 有关素数的12个问题
第五章 从勾股定理到费马大定理
引言
5.1 一次不定方程
5.1.1 通解公式
5.1.2 整数的模
5.1.3 可解的充要条件
1.1.6 计算机的影响
5.1.4 如何求二元一次方程的解
5.1.5 二元一次方程的非负解
5.1.6 多元一次不定方程
习题
5.2 勾股定理
5.2.1 问题
5.2.2 第一个重要定理——勾股定理
5.2.3 勾股定理的几何方面
5.2.4 勾股定理的数论方面
5.2.5 初等方法