数学分析1 数学分析2 数学分析3 数学分析习题集 共4本 北大数学系 方企勤廖可人 数学解题方法与技巧

预备知识

*一章 函数

1 函数概念

2 函数的几种特性

3 复合函数与反函数

4 基本初等函数

*二章 *限

1 序列*限定义

2 序列*限的性质与运算

3 确界与单调有界序列

4 函数的*限

5 函数*限的推广

6 两个重要*限

7 *穷小的阶以及*穷大的阶的比较

8 用肯定语气叙述*限不是某常数

*三章 连续

1 连续与间断

2 连续函数的运算

3 连续函数的中间值性质

4 初等函数的连续性

5 有界闭区间上连续函数的性质

*四章 导数与微分

1 导数概念

2 导数的几何意义与*值

3 导数的四则运算

4 复合函数求导

5 反函数与参数式求导

6 微分

7 高阶导数与高阶微分

*五章 利用导数研究函数

1 微分中值定理

2 洛必达法则

3 泰勒公式

4 函数的升降与*值

5 函数的凹凸与拐点

6 函数作图

7 方程求根

*六章 不定积分

1 不定积分概念

2 积分表与线性性质

3 换元法

4 分部积分法

5 有理函数的积分

6 三角函数有理式的积分

7 *理函数的积分

*十五章 欧氏空间与多元函数

1 m维欧氏空间

2 欧氏空间中的点集

3 m维欧氏空间的性质

4 多元向量函数

5 多元函数的*限

6 多元函数的连续性

*十六章 多元数值函数的微分学

1 偏导数

2 全微分与可微性

3 复合函数的偏导数与可微性

4 方向导数

5 高阶偏导数和高阶全微分

6 泰勒公式

7 由一个方程式确定的隐函数及其微分法

*十七章 多元向量函数微分学

1 线性变换

2 向量函数的可微性与导数

3 反函数及其微分法

4 由方程组确定的隐函数及其微分法

5 函数相关性

*十八章 多元函数微分学的应用——几何应用与*值问题

1 曲线的表示法和它的切线

2 空间曲面的表示法和它的切平面

3 简单*值问题

4 条件*值问题

5*小二乘法

*十九章 含参变量的积分

1 含参变量的定积分

2 *限函数的性质

3 含参变量的反常积分

4 计算含参变量积分的几个例子

5 欧拉积分——B函数与煤?

*二十章 重积分

1 引言

2 Rm空间图形的若尔当测度

3 在Rm上的黎曼积分

4 化重积分为累次积分

5 重积分的变量替换

6 重积分的变量替换（续）

7 重积分在力学上的应用

*二十一章 曲线积分

1 与曲线有关的一些概念

2 *一型曲线积分

3 *二型曲线积分

4 平面上的*二型曲线积分与格林公式

*二十二章 曲面积分

1 曲面概念

2 曲面的面积

3 *一型曲面积分

4 曲面的侧

5 *二型曲面积分

*二十三章 场论

1 场的表示法

2 向量场的通量、散度和高斯公式

3 向量场的环量和旋度

4 保守场与势函数

附录 微分形式与斯托克斯公式

1 反对称的k重线性函数

2 k次微分形式、外微分

3 微分形式的变量替换

4 流形与流形上的积分

5 高斯定理

6 斯托克斯公式

*一章 预备知识

归纳法

*对值与不等式

函数概念

函数的几种特性

复合函数与反函数

*二章 *限

序列*限定义

序列*限的性质与运算

确界与单调有界序列

函数*限

函数*限概念的推广

两个重要*限

*穷小量的阶及*穷大量的阶的比较

用肯定语气叙述*限不存在

*三章 连续

连续与间断

连续函数的运算

中间值性质

初等函数的连续性

*大、*小值

一致连续性

*四章 导数与微分

导数概念

导数的几何意义与*值

导数的四则运算

复合函数求导

反函数与参数表示的函数求导

微分

高阶导数与高阶微分

*五章 利用导数研究函数

罗尔中值定理

拉格朗日中值定理

柯西中值定理

洛必达法则

皮亚诺余项的泰勒公式

拉格朗日余项的泰勒公式

函数的升降与*值

函数的凹凸与拐点

函数作图

方程求根

*六章 不定积分

原函数与不定积分

不定积分的线性性质

*一换元法

*二换元法

分部积分法

有理函数的积分

三角函数有理式的积分

*理函数的积分

*七章 定积分

定积分概念

微积分基本定理

可积函数

定积分性质

变限定积分

换元法

分部积分法

积分*二中值定理

近似计算

*八章 定积分应用

平面图形的面积

由截平面的面积求体积

平面曲线的弧长与曲率

旋转体侧面积

物理应用

*九章 实数空间

实数与*限

确界与区间套

紧性定理

完备性定理

连续函数的性质

压缩映象原理

上*限与下*限

*十章 反常积分

*穷积分的概念

*穷积分收敛性判别法

瑕积分的概念

瑕积分收敛性判别法

*十一章 数值级数

数值级数的基本概念与性质

正项级数

任意项级数

收敛级数的性质

*十二章 函数项级数

函数序列及函数级数的一致收敛性

一致收敛判别法

一致收敛的函数序列与函数级数的性质

*十三章 幂级数

幂级数的收敛半径与收敛区间

幂级数的性质

初等函数的泰勒级数展开

斯特林公式

*十四章 傅里叶级数

基本三角函数系

周期函数的傅里叶级数

傅里叶级数的收敛性

任意区间上的傅里叶级数

傅里叶级数的平均收敛性

*十五章 欧氏空间与多元函数

m维欧氏空间

欧氏空间中的点集

m维欧氏空间的性质

多元向量函数

多元函数的*限

多元函数的连续性

*十六章 多元数值函数微分学

偏导数

全微分与可微性

复合函数的偏导数与可微性

方向导数

高阶偏导数和高阶全微分

泰勒公式

由一个方程式确定的隐函数及其微分法

*十七章 多元向量函数微分学

线性变换

向量函数的可微性与导数

反函数及其微分法

由方程组确定的隐函数及其微分法

函数相关性

*十八章 多元函数微分学的应用——几何应用与

*值问题

曲线的表示法和它的切线

空间曲面的表示法和它的切平面

简单*值问题

条件*值问题

*小二乘法

*十九章 含参变量的积分

含参变量的定积分

含参变量的反常积分

计算含参变量积分的几个例子

欧拉积分——B函数与τ函数

*二十章 重积分

Rm空间图形的若尔当测度

在Rm上的黎曼积分

化重积分为累次积分

重积分的变量替换

重积分的变量替换（续）

重积分在力学上的应用

*二十一章 曲线积分

与曲线有关的一些概念

*一型曲线积分

*二型曲线积分

平面上的*二型曲线积分与格林公式

*二十二章 曲面积分

曲面概念与曲面面积

*一型曲面积分

曲面的侧

*二型曲面积分

*二十三章 场论

向量场的通量、散度和高斯公式

向量场的环量和旋度

保守场与势函数

*二十四章 微分形式与斯托克斯公式

微分形式的定义

外微分

微分形式的变量替换