Course of pure mathematics:centenary edition

第1章 实变量. 1

1. 实数 1

2. 用直线上的点表示有理数 1

3. 无理数 2

4. 无理数(续) 6

5. 无理数(续) 7

6. 无理数(续) 9

7. 无理数(续) 10

8. 实数 11

9. 实数之间的大小关系 12

10. 实数的代数运算 13

11. 实数的代数运算(续) 15

12. 数根号下2 15

13. 二次根式 16

14. 关于二次根式的某些定理 17

15. 连续统 20

16. 连续的实变量 22

17. 实数的分割 22

18. 极限点 24

19. weierstrass定理 25

.第1章杂例 26

第2章 实变函数 35

20. 函数的概念 35

21. 函数的图形表示 37

22. 极坐标 39

23. 函数和它们的图的表示的进一步 的例子 39

24. 有理函数 42

25. 有理函数(续) 43

26. 显式代数函数 44

27. 隐式代数函数 45

28. 超越函数 47

29. 其他的超越函数类 50

30. 一元方程的图形解 52

31. 二元函数及其图形表示 53

32. 平面曲线 54

33. 空间中的轨迹 55

第2章杂例 58

第3章 复数 63

34. 沿直线和在平面上的位移 63

35. 位移的等价与位移的数乘 64

36. 位移的加法 65

37. 位移的乘法 68

38. 位移的乘法(续) 69

39. 复数 70

40. 复数(续) 72

41. 方程i2=-1 72

42. 用i作乘法的几何解释 73

43. 方程z2+1=0,az2+2bz+c=0 73

44. argand图 75

45. de moivre定理 76

46. 几个关于复数的有理函数的定理 78

47. 复数的根 89

48. 方程zn=a 的解 90

49. de moivre定理的一般形式 92

第3章杂例 92

第4章 正整变量函数的极限 99

50. 一个正整变量的函数 99

51. 插值 100

52. 有限类和无限类 101

53. 当n很大时n的函数所具有的性质 101

54. 当n很大时n的函数所具有的性质(续) 102

55. 习用语“n趋向无穷大” 103

56. 当n趋向无穷大时，n的函数φ(n)的性状 104

57. 当n趋向无穷大时，n的函数φ(n)的性状(续) 106

58. 极限的定义 106

59. 极限的定义(续) 107

60. 极限的定义(续) 108

61. 关于定义的几个要点 108

62. 振荡函数 111

63. 某些关于极限的一般性的定理 115

64. 定理i的附属结果 116

65. b. 两个性状已知的函数的乘积之性状 117

66. c. 两个性状已知的函数的差以及商的性状 119

67. 定理v 119

68. 定理v(续) 120

69. 以 n 为变量且与 n 一起递增的函数 121

70. 对定理的说明 122

71. 第19节中weierstrass定理的另一证明 123

72. 当n趋向∞ 时xn 的极限 124

73. (1+1/n)n 的极限 127

74. 某些代数引理 127

75. n([n]x -1) 的极限 129

76. 无穷级数 130

77. 关于无穷级数的一般性定理 132

78. 无穷几何级数 133

79. 用极限来表示一元连续实变函数 138

80. 有界集合的界 140

81. 有界函数的界 141

82. 一个有界函数的不定元的极限 141

83. 有界函数收敛的一般原理 143

84. 无界函数 144

85. 复函数以及复项级数的极限 145

86. 定理的推广 146

87. zn 当 n→∞ 时的极限，z是任意的复数 147

88. 当z为复数时的几何级数1+z+z2+ 148

89. 符号 o,o,～ 149

第4章杂例 151

第5章 一个连续变量的函数之极限，连续函数和不连续函数 159

90. x趋向∞时的极限 159

91. 当x趋向-∞时的极限 161

92. 与第4章第63～69 节的结论相对应的定理 161

93. 当x趋向0时的极限 161

94. 当x趋向a时的极限 163

95. 递增以及递减的函数 164

96. 不定元的极限以及收敛原理 164

97. 不定元的极限以及收敛原理(续) 166

98. 符号o,o,～：小量和大量的阶 169

99. 一个实变量的连续函数 171

100. 一个实变量的连续函数(续) 172

101. 连续函数的基本性质 175

102. 连续函数的进一步的性质 177

103. 连续函数的取值范围 178

104. 函数在区间中的振幅 179

105. 第103节定理2的另外的 证明 180

106. 直线上的区间集合, heine-borel 定理 181

107. 连续函数的振幅 183

108. 多元连续函数 184

109. 隐函数 185

110. 反函数 187

第5章杂例 189

第6章 导数和积分 193

111. 导数或者微分系数 193

112. 某些一般性的注解 194

113. 某些一般性的注解(续) 197

114. 微分法的某些一般法则 198

115. 复函数的导数 200

116. 微分学的记号 200

117. 标准形式 202

118. 有理函数 204

119. 代数函数 206

120. 超越函数 207

121. 高阶导数 210

122. 关于导数的某些一般性的 定理 213

123. 极大和极小 215

124. 极大和极小(续) 216

125. 极大和极小(续) 217

126. 中值定理 223

127. 中值定理(续).. 225

128. cauchy中值定理 225

129. darboux的一个定理 226

130. 积分 226

131. 实际的积分问题 228

132. 多项式 229

133. 有理函数 230

134. 有理函数的实际积分法的 注记 233

135. 代数函数 234

136. 换元积分法和有理化积分法 234

137. 与圆锥曲线有关的积分 235

138. 积分∫dx /(ax2 + 2bx + c) 236

139. 积分∫（λx +μ ）/ ( ax2 + 2bx + c) dx 236

140. 积分∫（λx +μ ）( ax2+2bx+c) dx 237

141. 分部积分 237

142. 一般的积分∫( x,y) d x , 其中 y2 = ax2 + 2bx + c 240

143. 超越函数 243

144. 以 x的倍数的余弦以及正弦为 变量的多项式 244

145. 积分∫xn cos x dx , ∫xnsin xd x 以及与之相关联的积分 244

146. cos x 和sin x 的有理函数 245

147. 包含arcsin x,arctan x 以及log x 的积分 247

148. 平面曲线的面积 248

149. 平面曲线的长度 249

第6章杂例 252

第7章 微分学和积分学中另外一些定理 265

150. 更高阶的中值定理 265

151. taylor定理的另一形式 269

152. taylor级数 271

153. taylor定理的应用，a. 极大 与极小 273

154. b. 某些极限的计算 273

155. c. 平面曲线的切触 276

156. 多元函数的微分法 280

157. 二元函数微分法 282

158. 二元函数的微分(续) 284

159. 二元函数的中值定理 285

160. 微分 287

161. 定积分和面积 292

162. 定积分 294

163. 圆的扇形面积，三角函数 295

164. 由定积分的和式极限的定义计算 定积分 298

165. 定积分的一般性质 299

166. 分部积分法和换元积分法 303

167. 用分部积分法证明taylo 2 定理 306

168. 余项的cauchy形式对于二项 级数的应用 307

169. 定积分的近似公式，simpson 公式 308

170. 单实变复函数的积分 310

第7章杂例 311

第8章 无穷级数和无穷积分的收敛性 322

171. 引言 322

172. 正项级数 322

173. 正项级数(续) 323

174. 这些判别法的首批应用 323

175. 比值判别法 323

176. 一个重要定理 326

177. 正项级数的乘法 327

178. 进一步的收敛与发散判别法 328

179. abel(或者pringsheim)定理 329

180. maclaurin(或者cauchy)积分 判别法 330

181. 级数∑n-s 332

182. cauchy并项判别法 334

183. 进一步的比值判别法 334

184. 无穷积分 335

185. φ(x) 取正值的情形 337

186. 换元积分法以及分部积分法对 无穷积分的应用 339

187. 其他类型的无穷积分 342

188. 其他类型的无穷积分(续) 344

189. 在用变量代换法时需要小心 从事 348

190. 有正负项的级数 349

191. 绝对收敛的级数 350

192. dirichlet定理对绝对收敛级数 的推广 351

193. 条件收敛的级数 352

194. 条件收敛级数的收敛判别法 352

195. 交错级数 353

196. abel收敛判别法与dirichlet收敛判别法 356

197. 复数项级数 358

198. 幂级数 359

199. 幂级数(续) 360

200. 幂级数的收敛域，收敛圆 360

201. 幂级数的唯一性 362

202. 级数的乘法 363

203. 绝对收敛和条件收敛的无穷 积分 365

第8章杂例 366

第9章 单实变对数函数、指数函数和三角函数 376

204. 引言 376

205. log x 的定义 377

206. log x 所满足的函数方程 378

207. 当 x 趋向无穷时log x 趋向无穷的方式 379

208. 当 x→∞ 时 x -a log x→0 的证明 380

209. 当 x→+ 0 时log x 的性状 380

210. 无穷大的尺度, 对数尺度 380

211. 数e 382

212. 指数函数 383

213. 指数函数的主要性质 384

214. 一般的幂ax 385

215. ex 表示为极限 386

216. log x 表示成极限 388

217. 常用对数 388

218. 级数和积分收敛的对数 判别法 394

219. 与指数函数以及对数函数有关的级数，用taylor定理展开ex 399

220. 对数级数 402

221. 反正切函数的级数 403

222. 二项级数 406

223. 建立指数函数和对数函数理论的另一种方法 408

224. 三角函数的解析理论 410

225. 三角函数的解析理论(续) 412

226. 三角函数的解析理论(续) 414

第9章杂例 415

第10章 对数函数、指数函数以及三角函数的一般理论 425

227. 单复变函数 425

228. 单复变函数(续) 426

229. 实的和复的曲线积分 426

230. logζ 的定义 427

231. logζ 的值 428

232. 指数函数 432

233. expζ 的值 433

234. expζ 所满足的函数方程 433

235. 一般的幂aζ 434

236. aζ 的一般的值 435

237. 正弦和余弦的指数的值 438

238. sinζ和cosζ对于ζ的所有值的定义 438

239. 推广的双曲函数 439

240. 与cos(ξ+iη),sin(ξ+iη) 等有关的公式 440

241. 对数函数与反三角函数之间的联系 443

242. exp z的幂级数 445

243. cos z和sin z的幂级数 446

244. 对数级数 448

245. 对数级数(续) 449

246. 对数级数的某些应用，指数极限 452

247. 二项定理的一般形式 453

第10章杂例 456

附录1 holder不等式和minkowski不等式 465

附录2 每个方程都有一个根的证明 471

附录3 关于二重极限问题的一个注记 478

附录4 分析与几何中的无穷 481

索引... 483