复变函数专题选讲

第一章 Cauchy定理
1 同伦形式的Cauchy定理
1.1 解析函数沿连续曲线的积分
1.2 同伦
1.3 同伦形式的Cauchy定理
1.4 封闭曲线的指标
2 同调形式的Cauchy定理
2.1 链与闭链
2.2 同调形式的Cauchy定理
3 局部Cauchy定理的推广
3.1 连续函数沿可求长曲线的积分
3.2 局部Cauchy定理的一种推广
第二章 最大模原理
1 Lindel?f-Phragmén定理
1.1 Lindel?f定理
1.2 Phragmén定理
2 三圆定理
2.1 凸函数
2.2 三圆定理与三直线定理
3 Schwarz引理及其应用
3.1 Schwarz引理
3.2 单位圆盘到自身的共形双射
3.3 用解析函数的实部估计函数的模
第三章 整函数与亚纯函数
1 无穷乘积 整函数因子分解定理
1.1 无穷乘积
1.2 无穷乘积收敛的判别法
1.3 解析函数项无穷乘积
1.4 整函数的因子分解定理
2 Picard定理
2.1 Bloch定理
2.2 Landau定理和Picard第一定理
2.3 Schottky定理和Picard第二定理
3 Runge定理 亚纯函数部分分式分解定理
3.1 两个预备定理
3.2 Runge定理
3.3 亚纯函数的部分分式分解定理
第四章 共形映射
1 解析函数正规族
1.1 概念及性质
1.2 正规定则
1.3 极限函数的性质
2 Riemann映射定理
2.1 一个引理
2.2 Riemann定理
2.3 映射函数的边界性质
3 多连通区域的映射定理
3.1 单叶函数类S
3.2 多连通区域的共形映射
第五章 解析开拓及Riemann曲面初步
1 解析开拓
1.1 Schwarz对称原理
1.2 幂级数的解析开拓
2 单值性定理
3.Riemann曲面的概念
3.1 二维流形
3.2 Riemann曲面的定义
3.3 Riemann曲面的例
3.4 曲面的基本群
3.5 覆盖曲面
3.6 覆盖变换与覆盖变换群
第六章 调和函数与Dirichlet问题
1 调和函数及次调和函数
1.1 调和函数及其序列
1.2 次调和函数
2 Dirichlet问题与调和测度
2.1 Dirichlet问题
2.2 Green函数
2.3 调和测度
第七章 Γ函数和B函数
1 Γ函数
1.1 Γ(z)的积分定义
1.2 Γ(z)的无穷乘积表示
1.3 Γ(z)的线积分表示
1.4 Stirling公式
2 函数B(z，ζ)
2.1 复变量B函数的定义
2.2 B函数和Г函数的关系
第八章 椭圆函数
1 定义及一般性质
1.1 椭圆函数的定义
1.2 椭圆函数的性质
1.3 有关二重级数的引理
2 一些重要的函数
2.1 函数？(z)
2.2 函数ζ(z)
2.3 函数σ(z)
3 椭圆函数所满足的方程
3.1 ？(z)所满足的微分方程
3.2 椭圆函数间的有理关系
4 一些重要的函数(续)
4.1 函数σf(z)
4.3 Jacobi椭圆函数
4.3 准椭圆函数
第九章 Cauchy型积分
1 Cauchy型积分和Cauchy主值积分
1.1 Cauchy型积分概念
1.2 Cauchy主值积分
2 Plemelj公式和Πрнвалов定理
2.1 Plemelj公式
2.2 分区全纯函数
2.3 Cauchy型积分的边值和Cauchy主值积分的导数
2.4 Πрнвалов定理
3 高阶奇异积分和推广的留数定理
3.1 留数定理的直接推广
3.2 高阶奇异积分
3.3 推广的留数定理
参考文献
索引