A Foundation of Mathematical Analysis

序
第一章 数系的扩展
1 等价关系和分类
2 代数运算和代数系
练习题1.1
3 序
4 序环(域)
练习题1.2
5 同构与扩张
练习题1.3
6 自然数公理
练习题1.4
7 由自然数构造整数环
8 由整数环构造有理域
练习题1.5
第二章 一维连续统的构造
1 无理数危机与微积分公理基础
2 有理数的不完备性与不连续性
练习题2.1
3 Cantor实数及其运算
练习题2.2
4 实数的序
练习题2.3
5 有理实数和实数的Cauchy准则
练习题2.4
6 戴德金(Dedkind,R)实数
第三章 实数的完备性、连续性与紧性
1 实数完备性的等价命题
2 实数的连续性
3 实数集的列紧性与紧性
练习题3.1
4 紧集上的连续映射
练习题3.2
5 连续映射的不动点和周期点
6 一维动力系统和Sarkovskii定理
练习题3.3
第四章 Riemann积分原理
1 Riemann可积性基本定理
2 (R)可积函数类
练习题4.1
3 有界变差函数
1 有界变差函数的定义和判定
2 有界变差函数的性质
3 全变差函数和Jordan分解定理
练习题4.2
4 Riemann-Stieltjes(黎曼-斯蒂吉斯)积分
1 (R-S)积分的定义
2 (R-S)可积性充要条件
3 (R-S)可积函数类
4 (R-S)积分的性质
5 (R-S)积分转化为(R)积分
练习题4.3
第五章 函数的多项式逼近
1 用有理运算诠释无理(或超越)运算
2 点邻域的渐近逼近
3 区间上的均方逼近
4 区间上的一致逼近
1 Weierstrass第一逼近定理
2 一致逼近的最小偏差多项式
3 最小零偏差问题与切比雪夫多项式
5 三角多项式对连续周期函数的一致逼近
练习题5
第六章 代数数与超越数
1 有理数域的代数扩张
2 超越数的发现
练习题6