“十三五”普通高等教育本科规划教材 高等数学

目 录前 言0高等数学部分1—139高等数学概论1第1章 极 限2—331.1 极限的概念21.2 极限的思想31.3 极限的表示方法31.4 极限的实例3 1 数列的极限3 2 函数的极限4 3 电路中应用极限的实例41.5? 极限的定义41.5.1? 数列的极限5 1 数列的定义5 2 数列极限的定义6 3 邻域的概念61.5.2 函数的极限7 1 函数极限的定义7 2 函数极限的四种类型81.6 极限存在的判定定理8 1 定理18 2 定理28 3 定理381.7 用求极限的方法解决实际问题101.8? 极限的运算规则111.9? 无穷小与无穷大111.9.1 无穷小11 1 无穷小的定义11 2 无穷小的性质12 3 函数极限与无穷小的关系12 4 高阶无穷小的概念13 5 无穷小的阶141.9.2 无穷大15 1 无穷大的定义16 2 无穷大的性质16 3 无穷大之间大小的比较161.9.3 无穷大与无穷小的关系171.10 两个重要极限181.11 极限不存在的几种情形19 1 函数趋向于无穷大20 2 左右极限至少有一个不存在或都存在但不相等20 3 函数的变化趋势振荡不定 201.12 函数的连续性201.12.1 函数连续的概念201.12.2 函数连续的定义211.12.3 函数的连续与间断 21 1 函数的连续 21 2 函数的间断 211.12.4 函数连续的条件231.12.5 函数间断点的类型23 1. 第一类间断点23 2 第二类间断点251.12.6 初等函数的连续性26 1 基本初等函数26 2 初等函数261.13 闭区间上连续函数的性质（最大值与最小值性质）271.14 求极限的各种方法33第2章 导 数34—602.1 导数的概念34 1. 导数的引入34 2. 导数的定义36 3. 导数的表示方法36 4. 导数的代数意义36 5. 导数的物理意义37 6. 导数的几何意义382.2 求导数的方法38 1. 求导法的步骤38 2. 基本求导公式39 3. 导数的四则运算规则39 4. 复合函数的导数39 5. 反函数的导数40 6. 隐函数的导数41 7. 参数方程的导数41 8. 二阶导数和高阶导数422.3 函数的可导性422.4 导数的应用442.4.1 求相关变化率44 1. 求各种形状容器的液面上升速率45 2. 应用相关变化率解决实际问题45 ★2.4.2 导数在电学中的应用49 1. 导数概念在电学中的应用49 2. 电阻的伏安特性51 3. 静态电阻51 4. 动态电阻51 5. 非线性元件的线性化处理52 （1）.线性电阻与非线性电阻概念52 （2）.非线性电阻的特性53 （3）.用线性元件近似代替非线性元件53★2.4.3 导数在自动控制中的应用54 2.4.4 导数在几何学中的应用54 1. 两条直线的交角54 2. 曲线的切线和法线方程55 2.4.5 导数在求极值和最值中的应用56 1. 极值和最值的的概念56 2.4.6 导数在绘制函数图像时的应用59 1. 二阶导数的几何意义59 2.利用导数更精确绘制函数图像的步骤59第3章 微 分61—67 3.1 微分的概念61 1. 微分的引入61 2. 微分的定义62 3.2 微分的意义62 1. 微分的几何意义62 2. 微分的物理意义63 3.3 微分的运算63 1. 微分在解决实际问题中的应用63 2. 利用微分计算函数的近似值64 3. 常用近似计算公式65第4章 积 分68—1064.1 不定积分684.1.1 不定积分的概念684.1.2 不定积分的积分方法68 1 直接积分法68 2 换元积分法73 （1） 第一换元积分法73 ★（2） 第二换元积分法76 ★ 3 分部积分法80 4 查表法82 4.2 定积分86 1. 定积分的概念86 2. 牛顿—莱布尼茨公式87 3. 常义积分87 4.3 定积分的应用87 1 定积分的几何应用87 2 定积分在物理学、力学和工程中的应用91 3 定积分在电学中的应用100 4.4 广义积分104 1 无穷限积分104 2 无界函数积分104 3 广义积分的应用105第5章 微分方程108—1255.1 微分方程的基本概念108 1 微分方程的阶109 2 常微分方程与偏微分方程109 3 线性微分方程110 4 线性齐次常微分方程110 5 一阶、二阶线性常微分方程1115.2 微分方程的建立1115.3 相似系统1125.4 微分方程的解法1135.4.1 一阶线性微分方程的解法1135.4.2 二阶线性齐次微分方程的解法1165.4.3 二阶线性非齐次微分方程的解法1175.5 线性微分方程解的结构120 1 通解和特解120 2 齐次解和非齐次解121 3 暂态解和稳态解122 4 全解1225.6 运用电学理论求解微分方程123第6章 无穷级数126—1396.1 数项级数1266.1.1 常数项级数的概念1266.1.2 级数的收敛性1276.1.3 数项级数的性质128★6.2 数项级数敛散性的判别方法1296.2.1 正项级数的敛散性1296.2.2 交错级数的敛散性1306.2.3 绝对收敛散与条件收敛1316.3 函数项级数1316.3.1 函数项级数的概念1316.3.2 幂级数的收敛区间和收敛半径1326.3.3 幂级数的微分、积分和连续性1346.4 函数的幂级数的展开方法1346.4.1 泰勒级数1346.4.2 函数展开成幂级数1356.5 研究级数的重要意义1366.6 复指数的幂级数138 工程数学部分140—220第7章 傅里叶变换140—1887.1 傅里叶级数1407.1.1 傅里叶级数的概念1407.1.2 傅里叶级数的展开定理1417.1.3 傅里叶级数的收敛条件1427.1.4 傅里叶级数的结构特征1437.1.5 傅里叶级数展开式的意义1457.1.6 傅里叶级数的复指数形式1487.1.7 傅里叶级数的几何意义1497.1.8 傅里叶级数的电学意义1527.1.9 三角函数正交性的电学意义1527.2 傅里叶积分1607.2.1 傅里叶积分的概念1607.2.2 傅里叶积分定理1617.2.3 傅里叶积分变换1627.3 傅里叶分析在电学研究中的应用162★7.3.1 傅里叶分析的“信号”意义——频谱的概念163★7.3.2 傅里叶分析的“系统固有特性”意义——频率特性的概念164★7.3.3 频率特性的获得1647.4 傅里叶分析的数学意义1667.5 周期函数与非周期函数频谱的比较1667.5.1 周期函数和非周期函数的频谱——离散频谱和连续频谱166 1 离散频谱166 2 连续频谱169 3 周期函数和非周期函数的傅里叶表达式1727.6 单位阶跃函数及其傅里叶变换1747.6.1 单位阶跃函数174★7.6.2 单位阶跃函数的傅里叶变换175★7.6.3 单位阶跃函数的傅里叶积分表达式176★7.7 单位脉冲函数及其傅里叶变换178★7.7.1 单位脉冲函数——冲击函数^178★7.7.2 单位脉冲函数——冲击函数的傅里叶变换180★7.7.3 单位脉冲函数——冲击函数的产生182★7.7.4 单位脉冲函数——冲击函数的性质183★7.7.5 系统对 函数响应的傅里叶变换——系统的频率特性184★7.7.6 单位脉冲函数 的导数——冲击偶184★7.7.7 冲击偶的性质186第8章 拉普拉斯变换189—2208.1 拉普拉斯变换1898.1.1 拉普拉斯变换的概念1898.1.2 拉普拉斯变换的定义1898.1.3 拉普拉斯变换的存在定理1918.1.4 拉普拉斯变换的性质1918.1.5 常用函数的拉普拉斯变换1978.2 拉氏变换与傅里叶变换的关系1988.3 拉氏反变换1988.3.1 留数定理1998.3.2 拉普拉斯变换表2028.4 拉普拉斯变换的应用2048.4.1 用拉普拉斯变换解微分方程^204★8.4.2 用拉普拉斯变换建立线性系统的传递函数2131 线性系统的激励和响应2132 传递函数的概念2148.4.3 系统的零点与极点^215★8.4.4 系统对 函数响应的拉普拉斯变换——系统的传递函数215★8.5 传递函数、频率特性与微分方程之间的关系218 1 传递函数与频率特性的关系219 2 传递函数与微分方程之间的关系220 3 系统特征方程与传递函数分母的关系220附录A：基础部分222—291附录A.1 向 量222附录A.2 复 数234附录A.3 函 数243附录B 常用积分表272附录C 傅立叶积分变换表282附录D 拉普拉斯积分变换表286