泛函分析中的反例

第一章度量空间
0.引言
1.实直线R1上存在距离d和点列{xn}，{yn}□（R1，d），使limn→∞xn与limn→∞ym都存在，但limn→∞（xn+ym）≠limn→∞xn+limn→∞yn
2.存在R2的一个测度为零的度量子空间，它的某个稠密开集的边界为不可数集
3.存在一个集上的两个距离d1与d2，不存在距离d使d≤d1，d≤d2
4.存在两个不相交的有界闭集，它们之间的距离等于零
5.存在一个完备度量空间中的紧集F1与闭集F2，使对任意x∈F1，y∈F2恒有d（x，y）>d（F1，F2）
6.C（0，1）上的两种距离，使得按照一种距离的单位球的余集在另一种距离下的单位球内是稠密的
7.一个度量空间，其中存在开球，它是闭集但不是闭球；又存在闭球，它是开集但不是开球
8.存在度量空间，其中开球的闭包都是闭球，但它的某个子空间却无此性质
9.存在某个度量空间的紧子空间E，使E中每个球都是连通的，但是开球的闭包未必是闭球
10.存在某个度量空间，在其中有半径分别为r1与r2的闭球B1与B2，虽然r1>r2，却有B1□B2
11.存在度量空间，在其中有集A，使{p：d（p，A）≤1）≠∪q∈AB（q，1），这里B（q，1）={p：d（q，p）≤1}
12.存在完备度量空间，在其中一个渐缩的非空闭球列{Bn}，使∪∞n=1，Bn=□
13.存在某个集上的两个距离，使得到的两个度量空间一个完备而另一个不完备
14.任何子集都是既开又闭的完备度量空间
15.任何子集都是既开又闭的不完备的度量空间
16.内点都是孤立点的度量空间
17.同一个集X上的两个距离d1与d2，使（X，d1）可分而（X，d2）不可分
18.无理数集上存在非离散的完备距离，使其成为完备的可分空间
19.有界而非全有界的集合
20.全有界而不列紧的集合
21.有界闭集并不都是列紧的度量空间
22.一个列紧集列，其并集并不列紧
23.存在某个度量空间中的列紧集，它与它的某个真子集等距
24.存在某个非紧度量空间，它不能与它的真子集等距
25.存在非紧的度量空间，在它上面的每个实值连续函数都是一致连续的
26.存在两个度量空间X与Y，使X2与Y2等距而X与Y并不等距
27.一个不完备的度量空间，它同胚于它的完备化空间
28.存在两个不同胚的度量空间，每一个都是另一个的一对一的连续像
29.某个度量空间中的子集A与B，虽然A与B的某个子集同胚，B与A的某个子集同胚，但A与B仍不同胚
30.R1中存在两个同胚的子集A与B，而不存在R1到R1上的同胚映射f，使f（A）=B
31.把Cauchy点列映成非Cauchy点列的同胚映射
32.Cauchy点列的几种弱形式之间的关系
33.把全有界集映成非全有界集的同胚映射
34.把列紧集映成非列紧集的同胚映射
35.把闭集映成非闭集的同胚映射
36.一个连续映射，它把某个有界闭集映成非闭集
37.一个开集的等距像，它不是开集
38.连续而不列紧的映射
39.映每个子集为列紧集的无处连续映射
40.存在由R2到R2的某个子集上的一对一的连续映射g，使对任意p∈R2都有d（p，g（p））=1，而g不是R2到该子集上的等距映射
41.一个完备的凸度量空间（X，d），使X到X的一切连续映射所成的度量空间F不是凸的，其中F上的距离为e（f，g）=supP∈d（f（p），g（p））
第二章赋范线性空间
0.引言
1.存在某个线性空间中的两个线性子空间，其并不是线性子空间
2.存在某个线性空间的子集A，使A+A≠2A
3.存在某个线性空间中的非凸集A，适合A+A=2A
4.存在某个线性空间中的非凸集A和线性映射T，使T（A）是凸集
5.存在n维欧氏空间中不同胚的闭凸集
6.R2中的一个吸收集，它在复平面内并不吸收
7.R2中的一个均衡集，它在复平面内并不均衡
8.存在某个线性空间中的集，它的均衡包的凸包不等于它的凸包的均衡包
9.任给线性空间X，可在X上赋予范数而使之成为赋范线性空间
10.存在某个线性空间上的两个不可比较的完备范数
11.存在某个线性空间上的强、弱两个范数，使强范数完备而弱范数不完备
12.存在某个线性空间上的强、弱两个范数，使弱范数完备而强范数不完备
13.不能赋予完备范数的线性空间
14.存在某个线性空间上的两个完备范数，其和并不完备
15.存在某个线性空间上的两个不完备范数，其和完备
16.一个Banach空间中的第一纲子空间，它本身并非第一纲空间
17.不完备的第二纲空间
18.一个不完备的赋范线性空间X及X的闭子空间M，使商空间X／M完备
19.存在某个赋范线性空间的子空间M及点x0，使x0到M的最近元不是唯一的
20.Riesz引理中的实数α（021.属于lp而不属于lr（1≤r22.属于∩n∞=1l1+1／n而不属于l的元素
23.属于c0而不属于∪n∞=1ln的元素
24.存在点列{xn）□lr使{xn}在lp（1≤r25.存在某个线性空间上的两个范数及点列{xn），使{xn}在这两个范数下均收敛而极限不同
26.存在某个线性空间X上的两个范数||·||与||·||1及子集A，使A在（X，||·||）与（X，||·||1）中都是紧的，而在（X，||·||+||·||1）中不紧
27.赋范线性空间上不连续的线性泛函
28.赋范线性空间中不闭的线性子空间
29.存在某个赋范线性空间中没有内点的凸的均衡吸收集
30.存在某个赋范线性空间内稠密的凸的均衡吸收的真子集
31.存在某个赋范线性空间中的无处稠密的闭的凸均衡吸收集
32.存在某个赋范线性空间中的子集，它的线性闭包不等于它的闭包张成的线性子空间
33.存在某个赋范线性空间中的无限集，它的线性闭包不等于它的元素的无限线性组合所成的线性子空间
34.存在某个赋范线性空间中的两个闭集，其和不是闭集
35.设A与B都是赋范线性空间中的闭凸集，C是有界集，则A+C=B+C蕴涵A=B，上述条件缺一不可
36.C（0，1）中的一个闭凸子集，它不含有最小范数的元素
37.L（0，1）中的一个闭凸子集，它含有无穷多个最小范数的元素
38.存在某个Banach空间X的子集A，使A的每个无限子集张成的线性子空间在X中稠密
39.不可分的Banach空间
40.一个可分Banach空间，其共轭空间不可分
41.存在不可分的Banach空间，它有可分的无穷维商空间
42.某个赋范线性空间X与，f∈X*，而不存在x∈X，使||x||=1且f（x）=||f||
43.l（或l∞）中存在两个线性无关元x与y，适合||x—y||·||x+y||=|||x||2—||y||2|
44.存在赋范线性空间X及x，y∈X，使||x—y||≥1／2（||x||+||y||）||x／||x||—y／||y||||不成立
45.存在某个Banach空间中的闭凸集，它没有端点
46.具有Krein—Milman性质的非自反Banach空间
47.存在某个Banach空间中的紧凸集，它不是其端点集的凸包
48.存在不自反的Banach空间，它的单位闭球的端点不可数
第三章算子和泛函
0.引言
1.连续而无界的泛函
2.下半连续而不连续的泛函
3.存在某个复赋范线性空间上的可加连续算子，它不满足复齐性的条件
4.l∞上的一个有界线性泛函f，不能表成f（x）=∑n=1∞βnξn的形式，其中x={ξn}∈l∞，而{βn}为某个固定数列
5.存在某个赋范线性空间的子空间上的有界线性泛函，其保范扩张并不唯一
6.存在范数不等于1的射影算子
7.Hahn—Banach定理不能推广到一般的有界线性算子
8.存在某个Banach空间上的非零连续线性泛函，它在单位闭球上取不到最大值
9.存在与某个Banach空间中的单位闭球相切而不相交的闭超平面
10.任给无穷维赋范线性空间上的非零连续线性泛函f，可构造一个可数有界闭集S，使f（S）不闭
11.存在不连续的双线性泛函，它对各个变元分别连续
12.非仿射的等距映射
13.存在赋范线性空间（X，||·||X）与（Y，||·||y）及映射f，使||x1—x2||X=1蕴涵||f（x1）—f（x2）||y=1，但f不是等距映射
14.等距齐性而非线性的映射
15.不可换的连续线性算子
16.存在某个赋范线性空间到其自身上的一对一的不连续的线性算子
17.存在某个赋范线性空间到其自身上的不连续线性算子f，使{x：f（x）=0}是闭集
18.一个有界线性算子，其逆算子无界
19.一个无界线性算子，其逆算子有界
20.存在某个非同胚的线性算子，使T*是同胚的线性算子
21.Barlach逆算子定理不成立的赋范线性空间
22.存在两个可逆矩阵，其积不可逆
23.一个具有逆矩阵的无穷矩阵，而它并不可逆
24.一个可逆矩阵，它却不存在左逆矩阵
25.一个开映射，它的逆映射不连续
26.一个乘积空间中的闭集，其射影不是闭集
27.存在两个闭映射，构成不闭的复合映射
28.存在闭映射y=f（x）与连续映射z=g（y），构成不闭的复合映射z=g（f（x））
29.存在闭线性算子T与连续线性泛函f，构成不闭的线性泛函f〇T
30.两个闭线性算子的和与积不必是闭线性算子
31.具有闭的值域的非闭线性算子
32.把某个闭集映成非闭集的闭线性算子
33.连续线性算子与闭线性算子互不蕴涵
34.存在某个连续的一对～的闭线性算子，其逆算子是闭的不连续算子
35.闭图像定理不成立的赋范线性空间
36.一个在第一纲赋范线性空间上定义而在另一个Banach空间上取值的闭线性算子，使其也是连续算子
37.开映射定理不成立的赋范线性空间
38.一个在Banach空间上定义而在另一个第一纲赋范线性空间上取值的闭线性算子，使其也是开算子
39.存在两个闭线性算子，其和没有闭的扩张
40.线性算子与其共轭算子之间的关系
41.有界线性算子与其扩张算子之间的关系
第四章弱拓扑和弱*拓扑
0.引言
1.存在某个Banach空问上的有界线性泛函列{fn}，它弱*收敛于f，而它的任何有限线性组合所成的点列都不按范数收敛于f
2.存在某个无穷维赋范线性空间，其中点列的强、弱收敛性是等价的
3.弱*收敛而不弱收敛的泛函列
4.赋范线性空间中弱收敛而不强收敛的点列
5.存在点列{xn}□l2，使{xn}按坐标收敛而并不弱收敛
6.强收敛而不一致收敛的有界线性算子列
7.弱收敛而不强收敛的有界线性算子列
8.共鸣定理不成立的赋范线性空间
9.存在某个Banach空间X到另一赋范线性空间Y内的一个一致有界的线性算子列{Tn}，使对X的某个稠密子集G的每一点x，{Tx}都收敛，但{Tn}并不强收敛于某个T∈L（X，Y）
10.弱序列完备而不弱完备的赋范线性空间
11.存在某个Banach空间，它并不弱序列完备
12.弱序列完备而不自反的Banach空间
13.存在无穷维线性空间X上的两种不同的拓扑，在这两种拓扑下，X上的连续线性泛函却是相同的
14.存在无穷维线性空间X上的两种不同的拓扑，在这两种拓扑下，X中的有界集却是相同的
15.共轭空间中弱*有界而不弱有界的集合
16.某个共轭空间中强闭而不弱*序列闭的子空间
17.某个赋范线性空间中强闭而不弱序列闭的子集
18.共轭空间中弱序列闭而不弱*序列闭的子集
19.存在某个赋范线性空间的子集，它的弱闭包与弱序列闭包并不相同
20.存在某个共轭空间中的子集，它的弱*闭包与弱*序列闭包并不相同
21.存在某个共轭空间中弱*序列连续而不弱*连续的线性泛函
22.某个共轭空间的子集，它的范数拓扑闭包与弱*拓扑闭包并不相同
23.L∞（R1）中存在一个弱*稠密的子空间F，使对任何r（024.一个不可分的Banach空间，其共轭空间弱*可分
25.弱*可分而不弱可分的共轭空间
26.弱*可分而不弱*序列可分的共轭空间
27.一个弱*可分的共轭空间，其中存在不弱*可分的闭子空间
28.某个共轭空间中弱*紧而不弱*序列紧的子集
29.某个共轭空间中的弱*序列紧集，它不是范数拓扑下的有界集
30.某个赋范线性空间中的弱序列紧而不强序列紧的集合
31.某个共轭空间中弱*序列紧而不弱序列紧的集合
32.赋范线性空间中弱序列完备而不弱序列紧的集合
33.存在紧集，它的闭凸包不是紧的
34.某个非自反的Banach空间X，使X*中点列的弱收敛与弱*收敛相一致
35.某个Banach空间X，使X*中点列的弱*收敛与弱收敛相一致，但X*中点集的弱*紧与弱紧并不一致
36.有界闭集都是紧的无穷维局部凸空间
第五章Banach空间中的基
0.引言
1.Banach空间中收敛而不绝对收敛的级数
2.赋范线性空间中绝对收敛而不收敛的级数
3.Banach空间中收敛而非无条件收敛的级数
4.某个Banach空间中弱无条件收敛而非无条件收敛的级数
5.某个Banach空间中无条件收敛而非绝对收敛的级数
6.赋范线性空间中Hamel基与Schauder基互不蕴涵
7.既是Hamel基又是Schauder基的无穷点列
8.一个有基的Banach空间，其共轭空间没有基
9.没有基的可分Banach空间
10.没有逼近陛质的可分Banach空间
11.存在某个Banach空间，它有逼近性质而没有有界逼近性质
12.存在某个Banach空间，它有有界逼近性质而没有度量逼近性质
13.存在某个有基的Banach空间X，使X*可分，但X*没有逼近性质
14.一个赋范线性空间中的基，它不是Schaudee基
15.某个赋范线性空间的弱Schauder基，它不是基
16.某个共轭空间X*的基，它在X中没有双直交列
17.一个双直交点列{xn}与{fn}，使{xn}是基而{fn}不是基
18.某个Banach空间中的基序列，它的坐标泛函列不是基序列
19.某个Banach空间的稠密子空间的基，它不是整个空间的基
20.一个赋范线性空间中的基{xn}，它有子列{xnk}，使{xnk}不是基序列
21.存在点列{xn}，它是Banach空间（X，||·||X）与（T，||·||Y）的基，但不是（X∩Y，||·||=||·||X+||·||Y）的基
22.一个Banach空间的基{xn}，使基序列{x2k}等价于基{xn}，但{f2k}并不等价于{fn}，这里，{fn}是{xn}的坐标泛函列
23.有弱*基而没有基的共轭空间
24.存在某个Banach空间的共轭空间，它有弱*基而并不可分
25.某个Banach空间的共轭空间中的Schauder基，它不是弱*基
26.一个Banach空间的共轭空间中的弱*基，它不是弱*Schauder基
27.一个共轭空间中的弱*Schauder基，它不是Schauder基
28.一个Banach空问的共轭空间，它弱*可分而没有弱*基
29.一个共轭空间X*中的点列，它既是X*的基，又是X*的弱*基，但它并不弱*收敛于0
30.一个有基的Banach空间，它没有单调基
31.一个Banach空间的有界完全基，它的一个基序列却不是有界完全的
32.一个双直交列{xn}与{fn}，使{fn}是有界完全的基序列，而{xn}却不是收缩的基序列
33.一个双直交列{xn}与{fn}，使{fn}是收缩的基序列，而{xn}却不是有界完全的基序列
34.一个Banach空间中的基，它不是正规基
35.一个Banach空间的非正规基{xn}，使坐标泛函列{fn}是span{fn}的正规基
36.一个Banach空间的Bessel基，它不是Hilbert基
37.一个Banach空间的Hilbert基，它不是Bessel基
38.一个Banach空间的基，它不是无条件基
39.有基而没有无条件基的Banach空间
40.一个没有无条件基的赋范线性空间，而能嵌入到具有无条件基的Banach空间
41.某个Banach空间的Schauder基，它弱收敛于0，但它没有无条件的基序列
42.具有唯一无条件基的无穷维Banach空间
43.某个Banach空间的无条件基，它不是有界完全的
44.一个Banach空间的无条件基，它不是收缩的
45.某个Banach空间的无条件基，它不是绝对收敛基
46.某个Banach空间中的次对称基，它不是对称基
47.有基而没有次对称基的：Banach空间
48.一个有基的Banach空间X，其中存在有基的子空间G，使G中没有一个基可以扩张成为X的基
49.一个Banach空间的分解，它不是Schauder分解
50.具有Schauder分解的不可分的Banach空间
……
第六章自反空间和弱紧生成空间
第七章Banach空间的凸性、光滑性及范数的可微性
第八章Banach空间的同构理论
第九章向量值函数
第十章度量线性空间
第十一章压缩型映射与不动点
第十二章Hilbert空间
第十三章线性算子的谱
第十四章紧算子和Riesz算子
第十五章正规算子和亚正规算子
参考文献
名词索引