简介
“离散”与“连续”是数量关系中一对极为深刻的矛盾，它们
之间的对立与统一是数学发展的重要动力之一“离散”是“连续”
的否定，即‘不连续"，“连续”则是指事物、数量的一种属性，
这种属性使它们容易被分割或结合，并且不会因此而丧失它们原
有的本性.例如，实数是连续的，整数则是离散的;马铃薯是离
散的，而马铃薯羹则是连续的.
古代数学主要讨论整数、整数的比(有理数)，它甚至(德莫
克利特)把几何图形也看作是由很多孤立的“原子”组成的，因
而，那时数学被看作是研究离散的或离散化了的数量关系的科
学.
随着数学理论的不断发展(不可通约线段的发现、对无限概
念的深入探讨)，同时由于处理离散数量关系的数学工具在刻划物
体运动方面无能为力，近代出现了连续的数量概念—实数，出
现了处理连续数量关系的数学工具—微积分.因此，近代数学
主要研究连续数量关系及其数学结构、数学模型，井且取得了极
其辉煌的成果.近代数学的这一特征，一直延续至今，仍在现代
数学中占据支配地位.
然而，近30年来，数字电子计算机的广泛应用与飞速发展，极
大地冲击了现代数学.由于数字电于计算机是一个离散结构，它
只能处理离数的或离散化了的数量关系，因此，无论计算机科学
本身，还是一与计算机科学或其应用密切相关的现代科学研究领域，
都面临这样一些问题:如何高速、有效地处理离散的对象和离散
的数量关系，如何对离散结构建立离散数学模型，又如何将已用
连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从面可由计算机加以
处理.于是，人们开始重新认识离散数量关系的研究意义，重新
重视讨论离散数量关系的数学分支，并取得新的发展.离散数学学
科的出现和发展是上述事实的逻辑结果。
“离散数学”是研究离散数量关系和离散结构数学模型的数学
分支的统称，“离散数学课程”是介绍这些分支的基本概念、基本
理论和基本研究方法、研究工具的基础课程，并业己成为计算机
科学与工程各专业的核心基础课程.它所涉及的概念、方法和理
论，大量地出现在“编译原理”、“数据结构”、“操作系统”、“数
据库系统”、“算法的分析与设计”等专业课程中;它所提供的ul[
练，十分有益于学生概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能
力的提高，十分有益于学生严谨、完整、规范的科学态度的培养’
这些能力与态度是一切软、硬件计算机科学工作者所不可缺少的，
它所传授的思想，广泛地体现在计算机科学与技术诸领域，例如:
理沦的和现实的可计算性研究，新的软件理论的发现和新的程序
设计语言的提出，人工智能系统的研制与新一代计算机的探索等·
本书包括离散数学四大分支的基础理论，它们是数理逻辑、
集合论、图论和抽象代数学.考虑到组合论、可计算性理论常被
独立选作计算机科学与工程专业的专业基础课，本书没有涉及.
本书对数理逻辑理论、函数概念及代数结构介绍的强化、系统化，
是区别于其它同类书籍的鲜明特点，从而在内容上具有先进性，
目录
目录
第一章 命题演算及其形式系统
1．1 命题与联结词
1．1．1 命题
1．1 2 联结词
1.1.3 命题公式及其真值表
1.1.4 语句的形式化
练习1.1
1．2 重言式
1.2.1 重言式概念
1．2．2 逻辑等价式和逻辑蕴涵式
1．2．3 对偶原理
练习1．2
1．3 范式
1．3．1 析取范式和合取范式
1．3．2 主析取范式与主合取范式
1.3.3 联结词的扩充与归约
练习1．3
1．4 命题演算形式系统
1．4．1 证明、演绎和推理
1．4．2 命题演算形式系统PC
1.4.3 自然推理系统ND
练习1.4
第二章 谓词演算及其形式系统
2．1 个体、谓词和量词
2．1．1 个体
2.1．2 谓词
2．1．3 量词
2．1．4 谓词公式及语句的形式化
练习2．1
2．2 谓词演算永真式
2．2．1 谓词公式的真值规定
2．2．2 谓词演算永真式
2．2．3 关于永真式的几个基本原理
练习2．2
2．3 谓词公式的前束范式
练习2.3
2．4 一阶谓词演算形式系统
2．4.1 一阶谓词演算形式系统FPC
2.4.1 一阶谓词演算的自然推理系统FND
2．4.3 含等词的一阶谓词演算自然推理系统
练习2．4
第三章 消解原理
3．1 斯柯伦标准形
3．1.1 斯柯伦标准形
3.1．2 子句集及其可满足性
练习3．1
3．2 命题演算消解原理
练习3．2
3．3 谓词演算消解原理
3.3.1 代换及一致化
3.3.2 谓词演算消解原理
3.3.3 换位原理
练习3.3
第四章 集合及其运算
4.1 集合的基本概念
4．1.l 集合及其元素
4.1.2 外延公理、概括公理和正规公理
4．1．3 子集合
练习4.1
4.2 集合运算
4.2.1 并、交、差、补运算
4.2.2 幂集运算和广义并、交运算
4．2．3 环和与环积运算
练习4.2
4．3 集合的归纳定义及归纳法证明
4．3．1 集合的归纳定义
4.3.2 自然数的集合论定义
4.3.3 归纳法证明
练习4.3
第五章 关系
5.1 有序组与集合的笛卡儿积
练习5.1
5.2 关系
5.2.1 关系的基本概念
5.2.2 关系的基本运算
5.2.3 关系的基本特性
5.2.4 关系特性闭包
5．2．5 特殊关系运算
练习5．2
5．3 等价关系
5.3.1 等价关系与等价类
5．3．2 等价关系与划分
练习5.3
5．4 序关系
5.4.1 序关系和有序集
5.4.2 良基性与良序集，完备序集
5．4．3 全序集、良序集的构造
练习5．4
第六章 函数
6．1 函数及函数的合成
6．1．1 函数的基本概念
6．1．2 函数概念的拓广
6．1．3 函数的合成
6.1.4 函数的递归定义
练习6．1
6．2 特殊函数类
6．2．1 单射的、满射的和双射的函数
6．2．2 规范映射、单调映射和连续映射
练习6.2
6．3 函数的逆
练习6．3
6．4 函数、谓词、集合
练习6．4
第七章 基数
7．1 有限集和无限集
7．1．1 有限集、可数集与不可数集
7．1．2 无限集的特性
练习7．1
7．2 基数
7．2．1 有限集、可数无限集和连续统的基数
7．2．2 基数比较
7．2．3 基数算术
练习7．2
第八章 图
8．1 图的基本知识
8．1．1 图的定义及有关术语
8．1．2 结点的度
8.1.3 图运算及图同构
练习8.1
8．2 路径、回路及连通性
8.2.1 路径与回路
8．2.2 连通性
8.2.3 连通度
练习8.2
8．3 欧拉图与哈密顿图
8.3.1 欧拉图与欧拉路径
8．3．2 哈密顿图及哈密顿通路
练习8．3
8．4 图的矩阵表示
8．4．1 关联矩阵
8．4．2 邻接矩阵
8．4．3 路径矩阵与可达性矩阵
练习8.4
第九章 特殊图
9．1 二分图
9.1.1 二分图的基本概念
9.1.2 匹配
练习9.1
9．2 平面图
9.2.1 平面图的基本概念
9.2.2 欧拉公式和库拉托夫斯基定理
9.2.3 着色问题
练习9.2
9.3 树
9.3.1 树的基本概念
9.3.2 生成树
9.3.3 根树
练习9.3
第十章 代数结构通论
10.1 代数结构
10.1.1 代数结构的意义
10．1．2 代数结构的特殊元素
10．1．3 子代数结构
练习10.1
10．2 同态、同构及同余
10.2.1 同态与同构
10．2．2 同余关系
练习10.2
10．3 商代数与积代数
10.3．1 商代数
10.3．2 积代数
练习10.3
第十一章 群、环、域
11．1 半群
11．1．1 半群及独异点
11．1．2 自由独异点
11．1．3 半群及高斯半群
练习11．1
11．2 群
11．2．1 群及其基本性质
11．2．2 子群、陪集和拉格朗日定理
11．2．3 正规子群、商群和同态基本定理
练习11．2
11．3 循环群和置换群
11．3．1 循环群
11．3．2 置换群
练习11.3
11．4 环
11．4．1 环和整环
11．4．2 子环和理想
11．4．3 多项式环
练习11．4
11．5 域
11．5．1 域和子域
11．5．2 有限域
练习11.5
第十二章 格与布尔代数
12．1 格
12．1．1 格——有序集
12．1．2 格代数
12．1．3 分配格和模格
练习12．1
12．2 布尔代数
12.2.1 有界格和有补格
12.2.2 布尔代数
12.2.3 布尔代数的表示定理
12．2．4 布尔表达式与布尔函数
练习12.2
参考文献
=)4x
第一章 命题演算及其形式系统
1．1 命题与联结词
1．1．1 命题
1．1 2 联结词
1.1.3 命题公式及其真值表
1.1.4 语句的形式化
练习1.1
1．2 重言式
1.2.1 重言式概念
1．2．2 逻辑等价式和逻辑蕴涵式
1．2．3 对偶原理
练习1．2
1．3 范式
1．3．1 析取范式和合取范式
1．3．2 主析取范式与主合取范式
1.3.3 联结词的扩充与归约
练习1．3
1．4 命题演算形式系统
1．4．1 证明、演绎和推理
1．4．2 命题演算形式系统PC
1.4.3 自然推理系统ND
练习1.4
第二章 谓词演算及其形式系统
2．1 个体、谓词和量词
2．1．1 个体
2.1．2 谓词
2．1．3 量词
2．1．4 谓词公式及语句的形式化
练习2．1
2．2 谓词演算永真式
2．2．1 谓词公式的真值规定
2．2．2 谓词演算永真式
2．2．3 关于永真式的几个基本原理
练习2．2
2．3 谓词公式的前束范式
练习2.3
2．4 一阶谓词演算形式系统
2．4.1 一阶谓词演算形式系统FPC
2.4.1 一阶谓词演算的自然推理系统FND
2．4.3 含等词的一阶谓词演算自然推理系统
练习2．4
第三章 消解原理
3．1 斯柯伦标准形
3．1.1 斯柯伦标准形
3.1．2 子句集及其可满足性
练习3．1
3．2 命题演算消解原理
练习3．2
3．3 谓词演算消解原理
3.3.1 代换及一致化
3.3.2 谓词演算消解原理
3.3.3 换位原理
练习3.3
第四章 集合及其运算
4.1 集合的基本概念
4．1.l 集合及其元素
4.1.2 外延公理、概括公理和正规公理
4．1．3 子集合
练习4.1
4.2 集合运算
4.2.1 并、交、差、补运算
4.2.2 幂集运算和广义并、交运算
4．2．3 环和与环积运算
练习4.2
4．3 集合的归纳定义及归纳法证明
4．3．1 集合的归纳定义
4.3.2 自然数的集合论定义
4.3.3 归纳法证明
练习4.3
第五章 关系
5.1 有序组与集合的笛卡儿积
练习5.1
5.2 关系
5.2.1 关系的基本概念
5.2.2 关系的基本运算
5.2.3 关系的基本特性
5.2.4 关系特性闭包
5．2．5 特殊关系运算
练习5．2
5．3 等价关系
5.3.1 等价关系与等价类
5．3．2 等价关系与划分
练习5.3
5．4 序关系
5.4.1 序关系和有序集
5.4.2 良基性与良序集，完备序集
5．4．3 全序集、良序集的构造
练习5．4
第六章 函数
6．1 函数及函数的合成
6．1．1 函数的基本概念
6．1．2 函数概念的拓广
6．1．3 函数的合成
6.1.4 函数的递归定义
练习6．1
6．2 特殊函数类
6．2．1 单射的、满射的和双射的函数
6．2．2 规范映射、单调映射和连续映射
练习6.2
6．3 函数的逆
练习6．3
6．4 函数、谓词、集合
练习6．4
第七章 基数
7．1 有限集和无限集
7．1．1 有限集、可数集与不可数集
7．1．2 无限集的特性
练习7．1
7．2 基数
7．2．1 有限集、可数无限集和连续统的基数
7．2．2 基数比较
7．2．3 基数算术
练习7．2
第八章 图
8．1 图的基本知识
8．1．1 图的定义及有关术语
8．1．2 结点的度
8.1.3 图运算及图同构
练习8.1
8．2 路径、回路及连通性
8.2.1 路径与回路
8．2.2 连通性
8.2.3 连通度
练习8.2
8．3 欧拉图与哈密顿图
8.3.1 欧拉图与欧拉路径
8．3．2 哈密顿图及哈密顿通路
练习8．3
8．4 图的矩阵表示
8．4．1 关联矩阵
8．4．2 邻接矩阵
8．4．3 路径矩阵与可达性矩阵
练习8.4
第九章 特殊图
9．1 二分图
9.1.1 二分图的基本概念
9.1.2 匹配
练习9.1
9．2 平面图
9.2.1 平面图的基本概念
9.2.2 欧拉公式和库拉托夫斯基定理
9.2.3 着色问题
练习9.2
9.3 树
9.3.1 树的基本概念
9.3.2 生成树
9.3.3 根树
练习9.3
第十章 代数结构通论
10.1 代数结构
10.1.1 代数结构的意义
10．1．2 代数结构的特殊元素
10．1．3 子代数结构
练习10.1
10．2 同态、同构及同余
10.2.1 同态与同构
10．2．2 同余关系
练习10.2
10．3 商代数与积代数
10.3．1 商代数
10.3．2 积代数
练习10.3
第十一章 群、环、域
11．1 半群
11．1．1 半群及独异点
11．1．2 自由独异点
11．1．3 半群及高斯半群
练习11．1
11．2 群
11．2．1 群及其基本性质
11．2．2 子群、陪集和拉格朗日定理
11．2．3 正规子群、商群和同态基本定理
练习11．2
11．3 循环群和置换群
11．3．1 循环群
11．3．2 置换群
练习11.3
11．4 环
11．4．1 环和整环
11．4．2 子环和理想
11．4．3 多项式环
练习11．4
11．5 域
11．5．1 域和子域
11．5．2 有限域
练习11.5
第十二章 格与布尔代数
12．1 格
12．1．1 格——有序集
12．1．2 格代数
12．1．3 分配格和模格
练习12．1
12．2 布尔代数
12.2.1 有界格和有补格
12.2.2 布尔代数
12.2.3 布尔代数的表示定理
12．2．4 布尔表达式与布尔函数
练习12.2
参考文献
=)4x
离散数学
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- 类型
- 大小
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