有限单元法教程
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作者： 王焕定，王伟编著
出版社：哈尔滨工业大学出版社,2003
简介：有限元法(FiniteElementMethod)是随着电子计算机的广泛应用而产生的一种计算方法。它是近似求解一般连续体问题的数值方法。从物理方面看：它是用仅在单元结点上彼此相连的单元组合体来代替待分析的连续体，也即将待分析的连续体划分成若干个彼此相联系的单元。通过单元的特性分析，来求解整个连续体的特性。从数学方面看：它是使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题，使问题大大简化，或者说使不能求解的问题能够求解。一经求解出单元未知量，就可以利用插值函数确定连续体上的场函数。显然，随着单元数目的增加，即单元尺寸的缩小，解的近似程度将不断得到改进。如果单元是满足收敛要求的，近似解将收敛于精确解。有限元法借助于两个重要工具：在理论推导上采用了矩阵方法，在实际计算中采用了计算机技术。本章将介绍学习有限元法的必要预备知识。下面介绍的弹性理论有关方程的矩阵表示以及虚位移原理与势能原理是建立有限元方程的重要理论基础。当我们求出单元的结点位移后，与杆系结构一样，希望利用结点位移求出单元内任一点位移；在作单元分析确定单元结点力与单元结点位移关系时，也需要将单元中任一点位移用单元结点位移表示。一般情况下，单元内任一点的实际位移是坐标的很复杂的函数，仅利用单元的六个结点位移是不能精确表示的。正如上一章所述，一般情况下，由结点位移表示的单元内位移只是实际位移的一部分，或者说是实际位移的一个近似。实践表明，当合理地选择由结点位移可以确定的、用以替代单元的实际位移的位移形式，随着单元尺寸的减小，结果会收敛于实际位移的。我们把在有限元分析中用来替代单元实际位移的位移形式称为位移函数。可见，位移函数的选择直接关系到结果的收敛性，是很关键的一步。一般从台劳级数展开的意义出发，选多项式作为位移函数。这不仅运算简单，并且可由项数的多少直接控制结果的精度。按这样的思路，对当前单元，因仅有6个结点位移，故可选下式为单元的位移函数。（p1)
